MPC车辆轨迹跟踪----理论推导

Posted 2022-11-12 QWQ_DIODA

MPC控制简介

众所周知，控制算法中，PID的应用占据了90％，而另外10％就是这次的主角MPC控制算法。
MPC控制算法全称模型预测控制，它相对比PID有着多输入，多输出以及更加平稳的特点。并且最重要的是，MPC可以针对非线性的系统进行控制。
由于其平稳的和非线性问题有着较强处理能力的特点，其在自动驾驶领域异常流行。

MPC全称：模型预测控制

1. 模型：即简单运动学模型，一般需要转化为线性的，离散的状态空间方程作为基本模型
2. 预测：根据模型预测未来数个时间段内（离散的）的状态
3. 控制：根据预测内容进行二次优化与处理，得出合适控制量。

简单流程（个人简单理解，若有误请指出）

车辆运动学模型

公式为

$$\begin{gathered} x^{\prime }=v\ast \cos (\phi ). \\ {y}^{\prime }=v\ast \sin (\phi ). \\ {x}^{\prime }=\frac{v\ast \tan (\delta )}{l}. \end{gathered}$$

由于MPC的模型需要、状态空间方程、线性的、离散的表达
因此第一步就是使其成为状态空间方程

完整的表示一个车的状态，我们需要用到他的坐标和角度也就是[x,y,φ]
车辆是一个二自由度模型。控制量分别是：后轮的速度v，前轮的转角δ.

于此，可以确定
$$状态量X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \phi \end{array}\right]$$
$$控制量U=\left[\begin{array}{c}v\\ \delta \end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} 状态空间方程 \\ \text{X˙}=f(X,U) \end{gathered}$$
后对状态空间方程进行一阶泰勒展开（线性化）
首先设置参考点（通常为规划好的路径中的参考点）
$$参考点\text{Xr˙}=f(Xr,Ur)$$
$$\begin{gathered} 泰勒展开： \\ \text{X˙}=f(Xr,Ur)+\frac{\delta f(X,U)}{\delta X}\ast (X-Xr)+\frac{\delta f(X,U)}{\delta U}\ast (U-Ur). \end{gathered}$$
由于仍存在无法求得的f(Xr,Ur)，因此我们转换策略，改为状态误差量
$$\begin{gathered} 泰勒展开： \\ \text{X˜˙}=\text{X˙}-\text{X˙r}=\frac{\delta f(X,U)}{\delta X}\ast (X-Xr)+\frac{\delta f(X,U)}{\delta U}\ast (U-Ur). \end{gathered}$$
$$\text{X˜}=X-MPC车辆轨迹跟踪----理论推导$$

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