剑指Offer整数整数除法 - 两数相除 - JavaScript

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了剑指Offer整数整数除法 - 两数相除 - JavaScript相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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从今天开始我们一起来刷《剑指offer(专项突破版)》,原书是Java版本的,这里就是以javascript角度来看这些算法题。

剑指 Offer II 001. 整数除法

此题与LeetCode主站的 29. 两数相除 相同

题目描述

给定两个整数 ab ,求它们的除法的商 a/b ,要求不得使用乘号 '*'、除号 '/' 以及求余符号 '%'

  • 整数除法的结果应当截去(truncate)其小数部分,例如:truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
  • 假设我们的环境只能存储 32 32 32 位有符号整数,其数值范围是 [ − 2 31 , 2 31 − 1 ] [−2^31, 2^31−1] [231,2311]
  • 本题中,如果除法结果溢出,则返回 2 31 − 1 2^31 − 1 2311

回顾JavaScript中的数字类型

不像别的语言数字分整数和浮点数,在JavaScript中只有一个数字类型。它是一个双精度的64位的numberNumber 类型使用IEEE 754格式表示整数和浮点值。

由内置数字类型表示的整数限制最大值是 2 53 − 1 2^53 - 1 2531Number.MAX_SAFE_INTEGER来表示;最小值是 − 2 53 + 1 -2^53 + 1 253+1 Number.MIN_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER === 9007199254740991
Number.MIN_SAFE_INTEGER === -9007199254740991

在这种情况下,安全性指的是该值不能是存在舍入(round)误差的结果。

这些不安全的值在 +1或者-1(舍入)之后,会远离安全的值。任何加法或减法都会导致结果的舍入。

let a = Number.MAX_SAFE_INTEGER
console.log(a + 1 === a + 2) // true

let b = Number.MIN_SAFE_INTEGER
console.log(b - 1 === b - 2) // true

为了检查是否安全,可以使用ES6的 Number.isSafeInteger

Number.isSafeInteger(a) // true
Number.isSafeInteger(a + 1) // false

分析(朴素解法)

这题限制我们不能使用 */% 运算符,所以比较容易想到的就是使用 减法 来模拟 除法

要计算 a/b,可以使用 a-b 得到结果与 b 进行判断,比 b 大就继续减,比 b 小就停止操作,计算减的次数就是所求的商

例如 计算 9/2: ① 9-2=7>27-2=5>25-2=3>23-2=1<2 所以商是4

/**
 * @param number a
 * @param number b
 * @return number
 */
var divide = function(a, b) 
    let result = 0
    while(a >= b)
        a -= b
        result++
    
    return result
;

考虑正负问题

上述讨论假设被除数和除数都是正整数。如果有负数则可以将它们先转换成正数,计算正数的除法之后再根据需要调整商的正负号。

由于题目要求不能使用乘法,所以我们使用异或操作符^来判断结果的正负符号sign

var divide = function(a, b) 

    let sign = (a>0) ^ (b>0) // 同(正)0 异(负)1

    a = a > 0 ? a : -a
    b = b > 0 ? b : -b

    let result = 0
    while(a >= b)
        a -= b
        result++
    
    
    return sign ? -result : result
;

我们还没有考虑溢出问题,因为题目要求 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数

考虑溢出问题

对于32位的整数而言,最小的整数是 − 2 31 -2^31 231,最大的整数是 2 31 − 1 2^31-1 2311

由于是整数的除法并且除数不等于0,因此商的绝对值一定小于或等于被除数的绝对值。因此,int型整数的除法只有一种情况会导致溢出:即 − 2 31 -2^31 231/ − 1 -1 1。这是因为最大的正数为 2 31 − 1 2^31 - 1 2311,如果将 − 2 31 -2^31 231转换为正数则会导致溢出,即 2 31 2^31 231超出了正数的范围。

var divide = function(a, b) 
    // 解决溢出问题
    if(a === -(2**31) && b === -1) return 2**31-1

    let sign = (a>0) ^ (b>0) // 同(正)0 异(负)1

    a = a > 0 ? a : -a
    b = b > 0 ? b : -b

    let result = 0
    while(a >= b)
        a -= b
        result++
    
    
    return sign ? -result : result
;

性能优化

上面这种很直观的解法存在一个问题:当被除数很大但除数很小时,减法操作执行的次数会很多。
如果被除数是N,那么这种解法的时间复杂度为O(N),所以我们需要对这种解法进行优化。我们要将O(N)的时间复杂度优化到O(logN)

可以将上述解法稍做调整。当被除数大于除数时,继续比较判断被除数是否大于除数的2倍,如果是,则继续判断被除数是否大于除数的4倍、8倍等。

如果被除数最多大于除数的 2 k 2^k 2k倍,那么将被除数减去除数的 2 k 2^k 2k倍,然后将剩余的被除数重复前面的步骤。

由于每次将除数翻倍,因此优化后的时间复杂度是O(logN)

下面以15/2为例:

  1. 15 15 15大于 2 2 2,也大于 2 ∗ 2 1 = 4 2*2^1=4 221=4,还大于 2 ∗ 2 2 = 8 2*2^2=8 222=8,但小于 2 ∗ 2 3 = 16 2*2^3=16 223=16。将 15 15 15 减去 2 ∗ 2 2 = 8 2*2^2=8 222=8,剩 7 7 7。由于减去的是除数的 2 2 = 4 2^2=4 22=4倍,减去这部分对应的商是4

  2. 接下来对剩余的 7 7 7和除数 2 2 2进行比较, 7 7 7大于 2 2 2,大于 2 ∗ 2 = 4 2*2=4 22=4,但小于 2 ∗ 2 2 = 8 2*2^2=8 222=8,于是将 7 7 7减去 4 4 4,还剩余 3 3 3。这次减去的是除数 2 2 2 2 2 2倍,对应的商是2

  3. 然后对剩余的 3 3 3和除数 2 2 2进行比较, 3 3 3大于 2 2 2,但 2 ∗ 2 = 4 2*2=4 22=4,于是将 3 3 3减去 2 2 2,还剩余 1 1 1。这一次减去的是除数的 1 1 1倍,对应的商是1

  4. 最后剩余的数字是 1 1 1,比除数 2 2 2小,不能再减去除数了

  5. 于是15/2的商是4+2+1,即7

题解

下面用代码实现,由于题目要求不能使用 * ,所以这里使用加法代替乘法

/**
 * @param number a
 * @param number b
 * @return number
 */
var divide = function(a, b) 
    // 解决溢出问题
    if(a === -(2**31) && b === -1) return 2**31-1

    let sign = (a>0) ^ (b>0) // 同(正)0 异(负)1

    a = a > 0 ? a : -a
    b = b > 0 ? b : -b

    let result = 0

    while(a >= b)

        let value = b
        let k = 1

        while(value >= -(2**30) && a >= value + value)
            k += k
            value += value
        

        result += k
        a -= value
    

    return sign ? -result : result
;

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