LeetCode 4.寻找两个正序数组的中位数

Posted 2022-10-29 小李一米九

题目：给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
示例1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

• nums1.length == m
• nums2.length == n
• 0 <= m <= 1000
• 0 <= n <= 1000
• 1 <= m + n <= 2000
• -10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6

很显然，从经验来看这道题想让我们用二分查找，事实上，如果没有最后算法复杂度的限制，这道题啪啪两下暴力解法还是很容易敲出来的，但是如果用先合并然后排序找数的方法，也就是快速排序，时间复杂度为O((m + n)log(m + n))，显然不符合要求，而且也没用上数组有序这一条件。

让我们来看看中位数的定义：

中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比他大，有一半的数据比他小

那么，我们都知道，中位数的存在分为两种情况

1. 当两个有序数组长度之和为技术的时候，中位数只有1个，将它返回；
2. 当两个有序数组长度之和为偶数的时候，中位数有2个，返回合并、排序以后位于中间的两个数的平均数；

我们使用一条分割线把两个数组分别分割成两部分，分割线应当满足以下两个条件：

1. 分割线左边和右边的元素个数相等，或者左边元素的个数比右边元素的个数多1个；
2. 分割线左边的所有元素的数值 <= 分割线右边的所有元素的数值

这个分割线其实就是中位数的作用，在理解了中位数的划分作用与中位数应当满足的条件时，我们就来具体的看看这个问题。

算法思想

首先，在任意位置i将A划分成两部分（B同理）：

将left_A和left_B放入一个集合，并将right_A和right_B放入另一个集合。再把这两个新集合分别命名为left_part和right_part:

当A和B的总长度是偶数时，如果可以确认：

1. len(left_part) = len(right_part)
2. max(left_part) ≤ (right_part)

那么，两个数组中的所有元素已经被划分为相同长度的两个部分，且前一部分的元素总是小于等于后一部分中的元素。中位数(median)就是前一部分的最大值和后一部分的最小值的平均值!

当A和B总长度是奇数时，如果可以确认：

1. len(left_part) = len(right_part) + 1
2. max(left_part) ≤ min(right_part)

那么，两个数组中的所有元素已经被划分为两个部分，前一部分比后一部分多一个元素，且前一部分总是小于等于后一部分中的元素，中位数就是前一部分的最大值：

median = max(left_part)

第一个条件对于总长度是偶数和奇数的情况有所不同，但是可以将两种情况合并。

i + j = m - i + n - j (m+n为偶数）
i + j = m - i + n - j + 1 (m+n为奇数）
对于上一个式子我们发现，这里分数的结果只保留整数部分，那么 i+j= (m+n+1)÷2 这个式子在奇数偶数情况得出来的值是相同的。

第二个条件对于总长度是偶数和奇数的情况是一样的。

0≤i≤m，0≤j≤n。如果我们规定A 的长度小于等于B 的长度，即 m≤n。这样对于任意的 i∈[0,m]，
都有 j= （ m+n+1）÷2−i∈[0,n]，那么我们在 [0, m] 的范围内枚举 i 并得到 j，
就不需要额外的性质了。
如果 A 的长度较大，那么我们只要交换 A 和 B 即可。
如果 m>n ，那么得出的 j 有可能是负数。

B[j−1]≤A[i] 以及 A[i−1]≤B[j]，即前一部分的最大值小于等于后一部分的最小值。

虽然可能存在会存在如下的极端情况：

为了简化分析，假设A[i - 1],B[j - 1],A[i],B[j]总是存在。对于i = 0、i = m、j = 0、j = n这样的临界条件，我们只需要规定A[−1]=B[−1]=−∞，A[m]=B[n]=∞ 即可。意思就是：前面我们将俩数组分为了左右两部分，当一个数组不出现在左部分时，就不会对左部分的最大值产生影响，当一个数组不出现在右部分时，就不会对右部分的最小值产生影响。

最后，我们需要做的是：
在 [0, m] 中找到 i，使得：
B[j − 1] ≤ A[i] 且 A[i − 1] ≤ B[j]，其中 j = （m + n + 1）÷ 2 − i（由前面的式子化简而得）
我们证明它等价于：
在 [0,m] 中找到最大的 i，使得：
A[i − 1] ≤ B[j]，其中 j = (m + n + 1 ÷ 2 − i

代码实现

class Solution 
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) 
        if (nums1.size() > nums2.size()) //确保第一个数组的长度小于第二个数组
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        
        
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        int left = 0, right = m;
        // median1：前一部分的最大值
        // median2：后一部分的最小值
        int median1 = 0, median2 = 0;

        while (left <= right) 
            // 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
            // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
            int i = (left + right) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;

            // nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
            int nums_im1 = (i == 0 ? INT_MIN : nums1[i - 1]);//我们只需要规定 A[−1]=B[−1]=−∞，A[m]=B[n]=∞ 即可，当前行 及以下三行
            int nums_i = (i == m ? INT_MAX : nums1[i]);
            int nums_jm1 = (j == 0 ? INT_MIN : nums2[j - 1]);
            int nums_j = (j == n ? INT_MAX : nums2[j]);

            if (nums_im1 <= nums_j) //nums1[i - 1]<=nums2[j] 从而确保 max(left_part)≤min(right_part)
                median1 = max(nums_im1, nums_jm1);// nums1[i-1]和 nums2[j-1]取最大值
                median2 = min(nums_i, nums_j);//nums1[i]和nums2[j]取最小值
                left = i + 1;//递增遍历左侧 分隔符右移 其实就是把nums[i]放在分割线左侧  nums2[j]移到分割线右侧
             else //nums_im1 > nums_j   相当于条件 B[j−1]≤A[i] 且 A[i−1]≤B[j] 其中的A[i−1]≤B[j]取反
                right = i - 1;//递减遍历右侧 其实就是把nums1[i-1]移到分割线右侧 nums2[j]移到分割线左侧
            
        

        return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;//m+n的和为偶数  则(median1 + median2) / 2.0
    
;

时间复杂度：O(log min(m,n)))
空间复杂度：O(1)