牛客多校8.K.Yet Another Problem About Pi 计算几何/思维

Posted 2022-10-28

Problem Analysis

题目大意转述：给你一个无限延伸的网格的长和宽，现在有一条固定长度的绳子(长为)，绳子可以摆成任意形状，求放到网格上去最多能经过的网格数目。

首先要确定绳子怎么摆才能达到这个目的：我们要经过近可能多的点，那么要经过尽可能多的顶点，而经过定点分为两种情况：

在左侧的情况中，经过上面的点时，利用绳子无限小数部分向四个格子延展出一点点，可以使绳子穿过四个格子；而竖着向下走，再统计下一个点的情况时，我们可以发现途中蓝色阴影部分的两个格子是被重复统计的

在右侧的情况中，同样经过两个点，我们发现被重复统计的点只有一个。但是相比于第一种走法，它需要耗费更长的长度。

那么为了保证同一长度能够覆盖尽可能多的格子，我们有两种可供选择的方案：我们先举一个例子

很显然，在这个例子中全直着走，全斜着走能覆盖的方格数目均不是最多的，直着走会因为重复统计而使产生过多无意义贡献；斜着走会因为长度限制而无法到达第三个点，从而导致放个覆盖数目减少。因此我们需要两者进行组合，那么就用两种方案

1. 尽可能直着走，如果直着走到最后无法到达下一个点，考虑去除最后一个经过点改成斜着走
2. 尽可能斜着走，①走到最后判断剩余的长度是否够一条直边，②去掉最后经过点改成直着走能否经过两个点

剩下的就是注意控制精度误差等等了。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi = acos(-1);

inline int solve()
    double x, y; cin >> x >> y;
    double cro = sqrt(x * x + y * y);
    if (x > y) x = y;
    if (x > pi) return cout << "4" << endl, 0;
    int ans = 4, xt = 0, ct = 0;
    double xn = x / 2, crn = cro / 3;
    if (xn < crn)
        xt = int(pi / x);
        ans += xt * 2;
        if (pi - (xt - 1) * x > cro) ans++;
    
    else
        ct = int(pi / cro);
        ans += ct * 3;
        if (pi - ct * cro > x) ans += 2;
        else if (pi - (ct - 1) * cro > 2 * x) ans++;
    
    return cout << ans << endl, 0;


signed main()
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t; cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;