把2010写成k个不相等的质数平方和，求k的最大值

Posted 2023-04-25

2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41,43
2,3,5,7,11,13,17,23,29这9个最小质数的平方和为2036，已超出2010
所以最多8个，但其中就不能带2，否则和为奇数。而8个最小的奇质数的和也超过2010.
因此最多7个，此时需带2，另6个的和就为2006.由于除3外，其余质数都是6K+/-1的形式的，其平方也为6K+1.而2006为6K+2，因此需含有3.剩下5个的和为1997.
经尝试得7,11,13,17,37
所以最大的K为7，这7个质数为2，3，7，11，13，17，37. 参考技术A 先写出有可能出现的数，为4,9,25,49,121,169,289,361,529,841,961,1369,1681,1849.
不管怎么写，出现的数字最多也就这么多了。
假设最大的数为529，则前面的数全加起来也不够2010.
假设为841，则529必选，余下和为640，似乎不行。
若为961，有961+529+361+121+4+9+25=2010，此时k=7，已经不小了。
若最大的数为1849，1681，1369，如果想超过7，则其余数至少要大于前7个数的和，但是前7个数已经超过660了，因此不可能。

所以k=7

UVA 1575 Factors

https://vjudge.net/problem/UVA-1575

 

题意：

令f（k）=n 表示 有n种方式，可以把正整数k表示成几个数的乘积的形式。

例 10=2*5=5*2，所以f（10）=2

给出n，求最小的k

 

搜索

从最小的质数开始枚举选几个

假设前i-1个种质数用了k个，有sum种方案，第i种质数选a个，

那么前i种质数的方案就有sum*C[k+a][a]

可以理解原来有k个位置，又加了a个位置，有a个数可以放在任意位置

所以前i种的每一种方案都变成C[k+a][a]种

 

枚举每个质数选几个时，如果上一个质数选了k个，那么这一个质数最多选k个

假设这个质数选了k+1个，那么显然上一个质数选k+1个，这个选k个更优

 

注意整数类型上限

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
int p[21]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71};
LL ans,n;
LL C[70][70];
void solve(int num,int lim,LL tot,LL now,int last)
{
    if(now>ans) return;
    if(tot==n) { ans=now; return ; }
    if(tot>n || num>20) return;
    LL t=1;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
    {
        t*=p[num];
        if(now>=ans/t) return;
        solve(num+1,i,tot*C[last+i][i],now*t,last+i);
    }
}
int main()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<70;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
        
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        if(n==1)
        {
            printf("1 2\n");
            continue;
        }
        ans=(LL)1<<63;
        solve(1,63,1,1,0);
        printf("%lld %lld\n",n,ans);
    }
}