高等数学基础进阶定积分应用

Posted 2022-10-22

几何应用

平面图形的面积

若平面域$D$由曲线$y=f(x),y=g(x)(f(x)\\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)$所围成，则

$$

S=\\int^b_a[f(x)-g(x)]dx

$$

 

 

若平面域$D$由曲线$\\rho =\\rho (\\theta ),\\theta =\\alpha,\\theta =\\beta(\\alpha<\\beta)$所围成，则

$$

S= \\frac12\\int^\\beta_\\alpha\\rho ^2(\\theta )d \\theta

$$

 

 

旋转体体积

若平面域$D$由曲线$y=f(x),(f(x)\\geq0),x=a,x=b(a<b)$所围成，则

区域$D$绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体积为

$$

V_x=\\pi \\int^b_af^2(x)dx

$$

 

 

区域$D$绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体积为

$$

V_y=2 \\pi \\int^b_axf(x)dx

$$

 

 

 

曲线弧长

如果由直角坐标方程给出$C:y=y(x),a\\leq x\\leq b$

$$

s=\\int^b_a\\sqrt1+y^2dx

$$

 

如果由参数方程给出$C:\\left\\beginaligned&x=x(t)\\&y=y(t)\\endaligned\\right.,\\alpha\\leq t \\leq \\beta$

$$

s=\\int^\\beta_\\alpha\\sqrtx^2+y^2dt

$$

 

如果由极坐标方程给出$C:\\rho =\\rho (\\theta ),\\alpha\\leq \\theta \\beta$

$$

s=\\int^\\beta_\\alpha\\sqrt\\rho ^2+\\rho ^2d \\theta

$$

 

 

旋转体侧面积

$$

S=2\\pi \\int^b_af(x)\\sqrt1+f^2(x)dx

$$

 

 

物理应用

压力，变力做功，引力

 

常考题型与典型例题

平面域面积和旋转体体积的计算

例1：设$D$是由曲线$xy+1=0$与直线$y+x=0$及$y=2$围成的有界区域，则$D$的面积为（）

![[附件/Pasted image 20220901084351.png]]

 

$$

\\beginaligned

S=\\iint\\limits_D1d \\sigma&=\\int^21dy \\int^- \\frac1y-ydx\\&=\\int^2_1(y- \\frac1y)dy\\

&=(\\frac12y^2-\\ln y)\\Big|^2_1\\

&= \\frac32-\\ln 2

\\endaligned

$$

 

例2：设封闭曲线$L$的极坐标方程为$r=\\cos3\\theta (-\\frac\\pi6\\leq \\theta \\leq \\frac\\pi6)$，则$L$所围平面图形的面积为（）

![[附件/Pasted image 20220901090302.png]]

 

$$

\\beginaligned

S= \\frac12\\int^\\beta\\alpha\\rho^2(\\theta )d \\theta &=2\\cdot\\frac12\\int^\\frac\\pi60\\cos ^23\\theta d \\theta \\

&=\\frac12\\int^\\frac\\pi6_0(1+\\cos 6\\theta )d \\theta \\

&=\\frac12(\\theta + \\frac16\\sin 6\\theta )\\Big|^\\frac\\pi6_0\\

&= \\frac\\pi12

\\endaligned

$$

 

例3：过点$(0,1)$作曲线$L:y=\\ln x$的切线，切点为$A$，又 $L$与$x$轴交于$B$点，区域$D$由$L$与直线$AB$围成，求区域$D$的面积及$D$绕$x$轴旋转一周所得旋转体的体积

![[附件/Pasted image 20220901093720.png]]

 

$$

y-y_0=\\frac1x_0(x-x_0)\\Rightarrow 1-\\ln x_0=-1 \\Rightarrow x_0=e^2

$$

或

$$

y-1=k(x-0)\\Rightarrow y=kx+1\\Rightarrow \\left\\beginaligned&kx+1=\\ln x\\&k=\\frac1x\\endaligned\\right.\\Rightarrow x=e^2

$$

可知$C$点坐标为$(e^2,2)$

$$

\\beginaligned

S&=\\int^e^2_1\\ln xdx- \\frac12(e^2-1)2=2\\

V&=\\pi \\int^e^2_1\\ln ^2xdx- \\frac13\\cdot \\pi2^2\\cdot (e^2-1)=\\frac2\\pi3(e^2-1)

\\endaligned

$$

 

例4：曲线$y=\\int^x_0\\tan tdt(0\\leq x\\leq \\frac\\pi4)$的弧$s=()$

 

$$

\\beginaligned

s=\\int^ba\\sqrt1+y^2dx&=\\int^\\frac\\pi40\\sqrt1+\\tan ^2xdx\\

&=\\int^\\frac\\pi4_0\\sec xdx\\

&=\\ln (\\sec x+\\tan x)\\Big|^\\frac\\pi4_0\\

&=\\ln (\\sqrt2+1)

\\endaligned

$$

 

物理应用

例5：一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\\geq \\frac12)$与$x^2+y^2=1(y\\leq \\frac12)$连接而成

• 求容器容积

• 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功

 

（长度单位$m$，重力加速度$g m/s^2$，水的密度为$10^3 kg/m^3$）

![[附件/Pasted image 20220901100107.png|250]]

 

 

$$

V=2\\cdot \\pi \\int^\\frac12-1x^2dy=2 \\cdot \\pi \\int^\\frac12-1(1-y^2)dy=\\frac9\\pi4

$$

 

 

$$

\\beginaligned

W&=10^3g\\int^\\frac12-1\\pi(1-y^2)(2-y)dy+10^3g \\int^2\\frac12\\pi(2y-y^2)(2-y)dy\\

&=\\frac278\\cdot 10^3\\pi g

\\endaligned

$$

 

 

例6：某闸门的形状与大小如图所示，其中$y$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，$DC=2m$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少

![[附件/Pasted image 20220901102043.png|150]]

 

 

$$

\\beginaligned

F_1&=2\\int^h+11\\rho g(h+1-y)dy=2\\rho g\\left[(h+1)y- \\fracy^22\\right]^h+11\\

&=\\rho gh^2\\

F_2&=2\\int^10\\rho g(h+1-y)\\sqrtydy=2\\rho g\\left[\\frac23\\left(h+1\\right)y^\\frac32- \\frac25y^\\frac52\\right]^10\\

&=4 \\rho g\\left(\\frac13h+ \\frac215\\right)

\\endaligned

$$

因此，由题意得

$$

\\frach^24\\left(\\frac13h+ \\frac215\\right)= \\frac54\\Rightarrow h=2,h=\\frac13

$$