矩阵的幂运算

Posted 2023-04-20

参考技术A 0次幂是特殊的，是单位矩阵
其他n次幂可以表示成（递归地）n-1次幂和自身的乘积 参考技术B 幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（a）=rank（a）；
4.可逆的幂等矩阵为e；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵a满足：a（e-a)=（e-a）a=0；
7.幂等矩阵a：ax=x的充要条件是x∈r（a）；
8.a的核n（a）等于（e-a）的列空间r（e-a）,且n（e-a）=r（a）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设
a1，a2都是幂等矩阵，则(a1+a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2
=a2·a1
=
0，
且有：r(a1+a2)
=r
(a1)
⊕r
(a2)；n(a1+a2)
=n
(a1)∩n(a2)；
2）设
a1，
a2都是幂等矩阵，则(a1-a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2
=a2·a1=a2
且有：r(a1-a2)
=r(a1)∩n
(a2
)；n
(a1
-
a2
)
=n
(a1
)⊕r
(a2
)；
3）设
a1，a2都是幂等矩阵，若a1·a2
=a2·a1，则a1·a2
为幂等矩阵，且有：r
(a1·a2
)
=r
(a1
)
∩r
(a2
)；n
(a
1·a2
)
=n
(a1
)
+n
(a2
)。

矩阵快速求幂

矩阵快速求幂

在只使用标准库的情况下，c++没有现成的处理矩阵的标准库，所以矩阵的运算就比较麻烦，尤其是矩阵的乘法

加减法都可以对应位置做加减，乘法的运算相对比较复杂，幂运算又会带来的大量的乘法运算，所以这里记录一种

矩阵快速求幂的方法。这种方法可以将运算降低至指数次，原理是这样的：

1.矩阵A的m次方，先把m分解成二进制数，然后二进制的对应为转换为十进制，就可以将m分解为2的幂指数相加，例如：10 = 8 + 2； 22 = 16 + 4 + 2；

2.按照2的幂指数从小到大依次开方，然后二进制数对应为1的位数相加，就可以得到答案了

接下来是代码，这里用存放链表的链表来表示矩阵:

#include <iostream>
#include <vector> 
using namespace std;

typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;

//矩阵做乘法 
mat mul(mat &A, mat &B){
    //生成一个大小为A.size * B[0].size 的矩阵C 
    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));    
    for (int i=0; i<A.size(); i++){
        for (int k=0; k<B.size(); k++){
            for (int j=0; j<B[0].size(); j++){
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
    return C;
}

//矩阵快速求幂, n为指数 
mat mpow(mat A, int n){
    mat B(A.size(), vec(A.size()));
    for (int i=0; i<A.size(); i++){
        B[i][i] = 1;
    }
    
    while (n>0){
        if (n&1) B = mul(B, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return B;
}


int main(){
    
    int n;
    cin>>n;
    //利用矩阵求幂求斐波那契数列
    mat A(2, vec(2));
    A[0][0] = 1; A[0][1] = 1; A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;
    A = mpow(A, n);
    cout<<A[1][0]<<endl; 
    return 0;
}