BP算法的学习过程由前向传播过程和反向传播过程组成。在前向传播过程中，输入信息通过输入层经隐含层，逐层处理并传向输出层。如果在输出层得不到期望的输出值，则取输出与期望的误差的平方和作为目标函数，转入反向传播，逐层求出目标函数对各神经元权值的偏导数，构成目标函数对权值向量的梯度，作为修改权值的依据，网络的学习在权值修改过程中完成。误差达到所期望值时，网络学习结束。如图所示为BP算法模型示意图：

推导过程：(还不太习惯用平板写字，字比较丑请见谅^_^）

数值计算

将题目中给出的数值代入推导出的公式中

以为例:

代码实现

使用numpy实现

import numpy as np

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = 0.2, -0.4, 0.5, 0.6, 0.1, -0.5, -0.3, 0.8
x1, x2 = 0.5, 0.3
y1, y2 = 0.23, -0.07
print("输入值 x0, x1:")
print(x1, x2)
print("输出值 y0, y1:")
print(y1, y2)


def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a


def forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)

    print("正向计算:预测值o1 ,o2为")
    print(round(out_o1, 5), round(out_o2, 5))

    error = (1 / 2) * (out_o1 - y1) ** 2 + (1 / 2) * (out_o2 - y2) ** 2

    print("损失函数(均方误差)：",round(error, 5))

    return out_o1, out_o2, out_h1, out_h2


def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):
    # 反向传播
    d_o1 = out_o1 - y1
    d_o2 = out_o2 - y2

    d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
    d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
    d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
    d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2

    d_w1 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
    d_w3 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
    d_w2 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
    d_w4 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2

    print("反向传播：误差传给每个权值", round(d_w1, 5), round(d_w2, 5), round(d_w3, 5), round(d_w4, 5), round(d_w5, 5), round(d_w6, 5),
          round(d_w7, 5), round(d_w8, 5))

    return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8


def update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    # 步长
    step = 1
    w1 = w1 - step * d_w1
    w2 = w2 - step * d_w2
    w3 = w3 - step * d_w3
    w4 = w4 - step * d_w4
    w5 = w5 - step * d_w5
    w6 = w6 - step * d_w6
    w7 = w7 - step * d_w7
    w8 = w8 - step * d_w8
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8


if __name__ == "__main__":

    print("更新前的权值:",round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

    for i in range(1):
        print("第" + str(i+1) + "轮:")
        out_o1, out_o2, out_h1, out_h2 = forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8 = back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2)
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)

    print("更新后的权值w:", round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

运行结果：

使用pytorch实现

import torch

x1, x2 = torch.Tensor([0.5]), torch.Tensor([0.3])
y1, y2 = torch.Tensor([0.23]), torch.Tensor([-0.07])
print("=====输入值：x1, x2；真实输出值：y1, y2=====")
print(x1, x2, y1, y2)
w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = torch.Tensor([0.2]), torch.Tensor([-0.4]), torch.Tensor([0.5]), torch.Tensor(
    [0.6]), torch.Tensor([0.1]), torch.Tensor([-0.5]), torch.Tensor([-0.3]), torch.Tensor([0.8])  # 权重初始值
w1.requires_grad = True
w2.requires_grad = True
w3.requires_grad = True
w4.requires_grad = True
w5.requires_grad = True
w6.requires_grad = True
w7.requires_grad = True
w8.requires_grad = True


def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + torch.exp(-z))
    return a


def forward_propagate(x1, x2):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)  # out_h1 = torch.sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)  # out_h2 = torch.sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)  # out_o1 = torch.sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)  # out_o2 = torch.sigmoid(in_o2)

    print("正向计算：o1 ,o2")
    print(out_o1.data, out_o2.data)

    return out_o1, out_o2


def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):  # 损失函数
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)  # 前向传播
    loss = (1 / 2) * (y1_pred - y1) ** 2 + (1 / 2) * (y2_pred - y2) ** 2  # 考虑 ： t.nn.MSELoss()
    print("损失函数（均方误差）：", loss.item())
    return loss


def update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    # 步长
    step = 1
    w1.data = w1.data - step * w1.grad.data
    w2.data = w2.data - step * w2.grad.data
    w3.data = w3.data - step * w3.grad.data
    w4.data = w4.data - step * w4.grad.data
    w5.data = w5.data - step * w5.grad.data
    w6.data = w6.data - step * w6.grad.data
    w7.data = w7.data - step * w7.grad.data
    w8.data = w8.data - step * w8.grad.data
    w1.grad.data.zero_()  # 注意：将w中所有梯度清零
    w2.grad.data.zero_()
    w3.grad.data.zero_()
    w4.grad.data.zero_()
    w5.grad.data.zero_()
    w6.grad.data.zero_()
    w7.grad.data.zero_()
    w8.grad.data.zero_()
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8


if __name__ == "__main__":

    print("=====更新前的权值=====")
    print(w1.data, w2.data, w3.data, w4.data, w5.data, w6.data, w7.data, w8.data)

    for i in range(1):
        print("=====第" + str(i) + "轮=====")
        L = loss_fuction(x1, x2, y1, y2)  # 前向传播，求 Loss，构建计算图
        L.backward()  # 自动求梯度，不需要人工编程实现。反向传播，求出计算图中所有梯度存入w中
        print("\\tgrad W: ", round(w1.grad.item(), 2), round(w2.grad.item(), 2), round(w3.grad.item(), 2),
              round(w4.grad.item(), 2), round(w5.grad.item(), 2), round(w6.grad.item(), 2), round(w7.grad.item(), 2),
              round(w8.grad.item(), 2))
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)

    print("更新后的权值")
    print(w1.data, w2.data, w3.data, w4.data, w5.data, w6.data, w7.data, w8.data)

运行结果：

1、对比【numpy】和【pytorch】程序，总结并陈述。

通过改变训练轮数，发现无论训练多少轮，还是当梯度都为0时（即找到最优解），结果都十分相近，因此可认为两种方法的求解效果基本相同。

例如：

训练轮数等于2时【numpy】程序结果：

训练轮数等于2时【pytorch】程序结果：

2、激活函数Sigmoid用PyTorch自带函数torch.sigmoid()，观察、总结并陈述。

使用Sigmoid函数和使用Pytorch自带函数torch.sigmoid()没较为明显的差距。

3、激活函数Sigmoid改变为Relu，观察、总结并陈述。

训练2轮Sigmoid函数：

训练2轮Relu函数：

和sigmoid函数相比，Relu函数均方误差降低速度快，因此使用Relu激活函数收敛速度要优于使用sigmoid激活函数。

def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a

def relu(z):
    return np.maximum(0, z)

(1)作为激活函数，计算简单，更加高效，速度快

神经元得到一个值，可以直接看这个值的大小，然后直接得出结果，不用多余的加减乘除计算

(2)ReLU 函数可使网格具有稀疏性。

单侧抑制，小于0全部抑制；宽兴奋边界，大于0的部分达到无穷都可以，没有限制，即兴奋程度可以很高；有很好的稀疏性，能让小于0的全部变为0，增大了稀疏性。

ReLU的一个重要优势是它能够输出真正的零值。这与Sigmoid激活函数不同，后者学习近似零输出，例如非常接近零的值，但不是真正的零值。这意味着负输入可以输出真实零值，从而允许神经网络中的隐藏层激活以包含一个或多个真实零值。

4、损失函数MSE用PyTorch自带函数 t.nn.MSELoss()替代，观察、总结并陈述。

def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):  # 损失函数
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)  # 前向传播
    loss_func = torch.nn.MSELoss() # 创建损失函数
    y_pred = torch.cat((y1_pred, y2_pred), dim=0) # 将y1_pred, y2_pred合并成一个向量
    y = torch.cat((y1, y2), dim=0) # 将y1, y2合并成一个向量
    loss = loss_func(y_pred, y) # 计算损失
    print("损失函数（均方误差）：", loss.item())
    return loss

通过运行结果观察发现自带函数和原先编写的函数运行结果相同。

5、损失函数MSE改变为交叉熵，观察、总结并陈述。

def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)
    loss_func = torch.nn.CrossEntropyLoss() # 创建交叉熵损失函数
    y_pred = torch.stack([y1_pred, y2_pred], dim=1)
    y = torch.stack([y1, y2], dim=1)
    loss = loss_func(y_pred, y) # 计算
    print("损失函数（交叉熵损失）：", loss.item())
    return loss

运行结果：

改为交叉熵之后损失函数出现负数

6、改变步长，训练次数，观察、总结并陈述。

step=1:

step=10:

可见，步长越大，均方误差下降越快，收敛就越快；

改变步数发现，随着步数的增大，均方误差下降速度也在逐渐降低，收敛速度下降

7、权值w1-w8初始值换为随机数，对比“指定权值”的结果，观察、总结并陈述。

指定权值：

随机数：

由图可见，当w1-w8初始值换为随机数后，均方误差的下降速度与指定权值时相比有所降低，收敛速度小于指定权值。

8、权值w1-w8初始值换为0，观察、总结并陈述。

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor(
    [0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0]), torch.Tensor([0])