ACM竞赛中的逆向思维

Posted 2022-09-16 SuPhoebe

在竞赛过程中，尤其是近期训练，遇到了不少一定要用逆向思维才能解决的题目。
为此做一系列的总结。希望能够对大家有所帮助。
同时，我也会做成PPT，供14级训练使用。

其中有部分问题摘自于2005年国家集训队唐文斌的《正难则反–浅谈逆向思维在解题中的应用》论文。

容斥方面

逆向思维在容斥方面的应用相当广泛，也可以说容斥就是逆向思维的一种体现。

HDU 5072 Coprime 同色三角形

题目大意：

给了$n$个不同的数，要求有多少个三元组，两两互质 或者 两两不互质。

思路：

原形是同色三角形问题。
总的三角形的个数是C(n,3)，只需减去不同色的三角形即可。这就是逆向思维。
对于每个点(数)，与它互质的连红边，不互质的连蓝边，那么对于该点不同色三角形个数为$蓝边数*红边数\\over2$。除以$2$的原因是，对于同一个三角形，我们枚举点的时候被计算了两次。
那么同色三角形个数为$C_n^3 - \\sum蓝边数*红边数\\over 2$。

问题就变成了：
如何求 原来序列里面的n个数跟某个数k不互质的个数（互质的就是$n-k$了）？

可以将原来的$n$个数，每一个都把他们的不同的质因数都求出来，然后枚举它们能够组合的数$（1 << cnt）$，用一个数组$num$记录，每枚举到一个数，那么数组对应的就$+1$

对于数$k$，也把它的不同质因数求出来，同样枚举它能够组合的所有数$t$，然后奇加偶减$num$。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 200005;

int p[N][15], vis[N], a[N], num[N];
int n;
void Prime()

    memset(vis, 0, sizeof vis);
    for(int i = 0; i < N; ++i) p[i][0] = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i) if(!vis[i])
        
            p[i][ ++p[i][0] ] = i;
            for(int j = i + i; j < N; j += i)
            
                vis[j] = 1;
                p[j][ ++p[j][0] ] = i;
            
        
    p[0][ ++p[0][0] ] = 1;    //考虑0的情况


void init()

    memset(num, 0, sizeof num);
    for(int k = 0; k < n; ++k)
    
        int now = a[k];
        int cnt = p[ now ][0];
        for(int i = 1; i < (1 << cnt); ++i)
        
            int t = 1;
            for(int j = 0; j < cnt; ++j) if((1 << j) & i)
                
                    t *= p[ now ][j + 1];
                
            num[t]++;
        
    


void solve()

    ll ans = 0, res, sum = 0;
    ans = (ll)n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
    int tot = 0;
    for(int k = 0; k < n; ++k)
    
        int now = a[k];
        int cnt = p[now][0];
        res = 0;
        for(int i = 1; i < (1 << cnt); ++i)
        
            int t = 1, g = 0;
            for(int j = 0; j < cnt; ++j) if((1 << j) & i)
                
                    t *= p[ now ][j + 1];
                    g++;
                
            if(g & 1)  res += num[t];
            else       res -= num[t];
        

        if(res == 0) continue;
        sum += (res - 1) * (n - res);
    
    printf("%lld\\n", ans  - sum / 2);


int main()

    int T;
    scanf("%d", &T);
    Prime();
    while(T --)
    
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
        init();
        solve();
    

ZOJ 1442 Dinner is Ready 不等式解集

此问题的思路来源于唐文斌论文。

题目大意：

妈妈烧了$M$根骨头分给$n$个孩子们，第$i$个孩子有两个参数$Min_i$和$Max_i$，分别表示这个孩子至少要得到$Min_i$根骨头，至多得到$Max_i$根骨头。
输出一个整数，表示妈妈有多少种分配方案（骨头不能浪费，必须都分给孩子们）。

思路：

这题的模型确实很简单，即求如下方程组的整数解个数。

$$\\left\\ \\beginaligned &\\sum_i=1^n X_i = M \\\\ &Min_1\\leq X_1 \\leq Max_1\\\\ &Min_2\\leq X_2 \\leq Max_2\\\\ &\\dots\\\\ &Min_n\\leq X_n \\leq Max_n \\endaligned \\right.$$

我们也知道，方程组简单形式

$$\\left\\\\beginaligned\\sum_i=1^nX_i=M\\\\ X_i\\geq 0 \\endaligned \\right.$$ 的整数解个数是 C[简单思维题]Sequence(山东省第九届ACM大学生程序设计竞赛E题)

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