树的定义及相关概念

Posted 2022-09-14 Laccoliths

1 树的定义

树（Tree）是个结点的有限集。时称为空树。在时称为空树。在任意一棵非空树种：①有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)，如图所示。

对于树的定义还需要注意两点：

1. 时根节点是唯一的，不可能存在多根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根节点。
2. 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。像下图中的两个结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树。

2 结点的分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

3 结点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，反之以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。在下图中，D、B、A都是H的祖先，B的子孙有D、G、H、I。

4 树的其他相关概念

结点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互为堂兄弟，在下图中D、E、F是堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则为无序树。

对比线性表与树的结构的区别如下图所示：

5 树的抽象数据类型

伪代码定义：

ADT 树(tree)
DATA
    树的由一个根节点和若干棵子树构成的。树中结点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
    InitTree(*T):构造空树T。
    DestoryTree(*T):销毁树T。
    CreateTree(*T,definition):按definition中给出的树的定义来构造树。
    ClearTree(*T):若树T存在，则将树T清为空树。
    TreeEmpty(T):若树T为空树，返回true，否则返回false。
    TreeDepth(T):返回T的深度。
    Root(T):返回T的根结点。
    Value(T,cur_e):cur_e是树T中一个结点，返回此结点的值。
    Assign(T,cur_e,value):给树T的结点cur_e赋值为value。
    Parent(T,cur_e):若cur_e是树T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空。
    LeftChild(T,cur_e):若cur_e是树T的非叶结点，则返回它的左孩子，否则返回空。
    RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回空。
    InsertChild(*T,*p,i,c):其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度上加1，非空树c与T不相交，操作结                             果为插入c为树T中p所指结点的第i个子树。
    DeleteChild(*T,*p,i):其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，操作结果为删除T中p所指结点的第i                          棵子树。
endADT

6 树存储结构

树的三种不同表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法

6.1 双亲表示法

树这种结构除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。

假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示器双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁，还需要知道它的双亲在哪里。它的结点结构如下：

双亲表示法的结点结构定义代码：

#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode  // 结点结构
    TElemType data;  // 结点数据
    int parent;  // 双亲位置
PTNode;

typedef struct
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];  // 结点数组
    int r,n;  // 根的位置和结点树
PTree

在树的结构中，根结点是没有双亲的，我们约定根结点的位置域设置为-1，下图中的树结构可用下表中的树双亲表示：

用这种表示方法，找到双亲结点的时间复杂度是数据结构之树的基本概念性质

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