青蛙跳台阶问题。

Posted 2022-09-14 brokensword2004

题目描述：有n级台阶，一直青蛙，每次跳1个台阶或者每次跳2个台阶，请问青蛙上到第n级台阶有多少种方法。

不妨先用数学的方法找规律解这个问题：

假设他有3级台阶；

可分为两类：

跳0次2台阶，剩余3次1台阶；组合数C(0,3)

跳1次2台阶，剩余1次1台阶；组合数C(1,2)

总数sum=C(0,3)+C(1,2)

假设他有4级台阶；

跳0次2台阶，剩余4次1台阶；组合数C(0,4)//

跳1次2台阶，剩余2次1台阶；组合数C(1,3)//

跳2次2台阶，剩余0次1台阶；组合数C(2,2)//两个数字总是以1为单位加减靠近,且二者之和为台阶数，以第一个数字<=第二个数字结束

sum=C(0,4）+C(1,3)+C(2,2)

...........

假设他有10级台阶；

跳0次2台阶，剩余4次1台阶；组合数C(0,4）

跳0次2台阶，剩余4次1台阶；组合数C(0,4）

跳0次2台阶，剩余4次1台阶；组合数C(0,4）

跳0次2台阶，剩余4次1台阶；组合数C(0,4）

............

我们可以预测

sum=C(0,10)+C(1,9)+C(2,8)+C(3,7)+C(4,6)+C(5,5)

于是可以推测出第n级sum

sum=C(0,n)+C(1,n-1)+C(2,n-2)+...........

数学上组合数的计算方式为

C(a,b)=a!/b!*(a-b)!

所以在解答这个问题是，我们不避免要写一个运算阶乘的函数。

int fac(int n)

  int ret=1;

    if(n<=1)

    return 1;

   

    else

   

    ret=ret*n;

    return ret*fac(n-1);

   

再回到运算总数

sum=C(0,n)+C(1,n-1)+C(2,n-2)+...........

这是一个累加，故可以用上循环

等等，当n=1时，方法只有一种。故我们先可以把最简单的先解决。

if(n<=1)

    return 1;

   

当n>=2时，我们会发现无法用计算机输出0！，故直接将其定为1

这里可以使用一个while循环来计算和，用b来接受和

int a=1,b=1;

​while(a<=n)

   

        b=b+fac(n-1)/(fac(a)*fac(n-1-a));//核心步骤

        n--;

        a++;

return b;

返回值就为b。

总的代码就为

//青蛙跳台阶

#include<stdio.h>

//阶乘函数

int fac(int n)

  int ret=1;

    if(n<=1)

    return 1;

   

    else

   

    ret=ret*n;

    return ret*fac(n-1);

   

//

int mains(int n)

  int a=1,b=1;

    if(n==1)

   

        return 1;

   

    while(a<=n)

   

        b=b+fac(n-1)/(fac(a)*fac(n-1-a));//核心步骤

        n--;

        a++;

   

    return b;

int main()

  int n;int res;

    scanf("%d",&n);

    res=mains(n);

    printf("%d",res);

    return 0;