栈及栈的应用——后缀表达式

Posted 2022-09-09 Laccoliths

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了栈及栈的应用——后缀表达式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1. 栈的定义

1.1 文字定义

栈：限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。

允许插入和删除的一端称为栈顶(top)，另一端称为栈底(bottom)，不含任何数据元素的栈称为空栈。栈又被称为后进先出(Last In First Out)的线性表，简称LIFO结构。

理解栈的定义需要注意：

栈是一个线性表，也就是说栈元素具有线性关系，即前驱后继关系。定义中说是在线性表的表尾进行插入和删除操作，这里的尾是指栈顶，而不是栈底。
栈的特殊之处就在于限制了这个线性表的插入和删除位置，它始终只在栈顶进行。这使得栈底是固定的，最先进栈的只能在栈顶。

栈的插入操作，叫做进栈，也称压栈、入栈。

栈的删除操作，叫做出栈，有的也叫作弹栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈

1.2 代码定义

插入和删除操作改名为push和pop

伪代码定义：

ADT 栈(stack)
DATA 
  同线性表。元素具有相同的类型，相邻元素具有前驱和后继关系。
Operation
  InitStack(*S):初始化操作，建立一个空栈S
  DestoryStack(*S):若栈存在，则销毁它。
  ClearStack(*S):将栈清空
  StackEmpty(S):若栈为空，返回true，否则返回false
  GetTop(S,*e):若栈存在且非空，用e返回S的栈顶元素
  Push(*S,e):若栈S存在，插入新元素e到栈S中并成为栈顶元素
  Pop(*S,*e):删除栈S中栈顶元素，并用e返回其值
  StackLength(S):返回栈S的元素个数
endADT

2 栈的顺序存储结构

栈的结构定义：

typedef int SElemType;  // SElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int

// 顺序栈结构
typedef struct
    SElemType data[MAXSIZE];
    int top;  // 用于栈顶指针
SqStack;

2.1 进栈操作(插入操作)

对于栈的插入，即进栈操作，其实就是做了如下处理：

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_02

代码如下：

Status Push(SqStack *S.SElemType e)
    if(S -> top == MAXSIZE -1) // 栈满
        return ERROR;
    
    S->top++; // 栈顶指针加一
    S->data[S->top] = e;  // 将新插入元素复制给栈顶空间
    return OK;

2.2 出栈操作(删除操作)

出栈操作pop，代码如下：

Status Pop(SqStack *S,SElemType *e)
    if(S->top==-1) // 栈为空
        return ERROR;
    
    *e = S->data[S->top];  // 将要删除的栈顶元素复制给e
    S->top--;  // 栈顶指针减一
    return OK;

3 共享栈

栈的顺序存储还是很方便的，因为它只准栈顶进出元素，所以不存在线性表插入和删除时需要移动元素的问题。不过它有一个很大的缺陷，就是必须事先确定数组存储空间大小，万—不够用了，就需要用编程手段来扩展数组的容量，非常麻烦。

共享栈就可以很好的解决这个问题。如果我们有两个相同类型的栈，我们为它们各自开辟了数组空间，极有可能是第—个栈已经满了，再进栈就溢出了，而另一个栈还有很多存储空间空闲，我们完全可以用—个数组来存储两个栈，充分利用这个数组占用的内存空间。

设置数组有两个端点，两个栈有两个栈底，让一个栈的栈底为数组的始端，即下标为0处，另—个栈为数组的末端，即下标为数组长度n-1处。这样两个栈如果增加元素，就是两端点向中间延伸。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_03

当top1+1=top2时为栈满，top1 和top2是栈1和栈2的栈顶指针。

共享栈的结构代码如下：

typedef struct
    SElemType data[MAXSIZE];
    int top1;  // 栈1栈顶指针
    int top2;  // 栈2栈顶指针
SqDoubleStack;

3.1 共享栈进栈

对于共享栈的push方法，除了要插入元素值参数外，还需要有一个参数判断是栈1还是栈2的栈号参数StackNumber。

Status Push(SqDoubleStack *S,SElemType e,int stackNumber)
    if(S->top1+1=S->top2)  // 栈满
        return ERROR;
    
    if(stackNumber==1) // 栈1元素进栈
        S->data[++S->top1]=e; // 若是栈1则先top1+1后给数组元素赋值
    else if(stackNumber==2) // 栈2元素进栈
        S->data[--S->top2]=e;  // 若是栈2则先top2-1后给数组元素赋值

3.2 共享栈出栈

对于共享栈的pop方法，参数就只是判断栈1栈2的参数stackNumber，代码如下：

Status Pop(SqDoubleStack *S,SElemType *e.int stackNumber)
    if(stackNumber==1)
        if(S->top1==-1)  // 栈1是空栈
            return ERROR;
        
        *e = S->data[S->top--];  // 将栈1的栈顶元素出栈
    else if(stackNumber==2)
        if(S->top2==MAXSIZE)  // 栈2是空栈
            return ERROR;
        
        *e = S->data[S->top2++] // 将栈2的栈顶元素出栈

4 栈的链式存储（链栈）

链栈栈顶放在单链表的头部，基本不存在栈满的情况，不用担心链栈溢出的问题，对于空栈来说，链表原定义是头指针指向空，链栈的空其实就是top=NULL的时候。

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_04

链栈的结构代码如下：

typedef struct StackNode
    SELemType data;
    struct StackNode *next;
StackNode,*LinkStackPtr;

typedef struct
    LinkStackPtr top;
    int count;
LinkStack;

4.1 进栈操作

对于链栈的进栈push操作，假设元素值为e的新结点是s，top为栈顶指针，示意图如图所示：

栈及栈的应用——后缀表达式_后缀表达式_05

Status Push(LinkStack *S,SElemType e)
    LinkStackPtr s = (LinkStackPtr)malloc(sizeof(StackNode));  // 初始化一个结点
    s->data = e;  // 给新结点赋值
    s->next = S->top;  // 新结点下一元素链上指针，步骤1
    S->top = s;  // 将新结点s赋值给栈顶指针，步骤2
    s->count++;  // 链栈结点个数长度
    return OK;

4.2 出栈操作

对于链栈的出栈pop操作，假设变量p用来存储要删除的栈顶结点，将栈顶指针下移一位，最后释放p即可。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_06

Status Pop(LinkStack *S,SElemType *e)
    LinkStackPtr p;
    if(StackEmpty(*S))  // 栈空
        return ERROR;
    
    *e = S->top->data;  
    p = S->top;  // 将栈顶结点赋值给p，步骤3
    S->top = S->top->next;  // 使栈顶指针下移一位，指向后一结点，步骤4
    free(p);  // 释放结点p
    S->count--;
    return OK;

5 栈的应用——四则运算表达式求值

5.1 后缀（逆波兰 Reverse Polish Notation RPN）表达式定义

9+(3-1)*3+10/2的困难就在于乘除在加减后面，却要先运算，而加入括号后，会更加复杂。

但仔细观察后发现，括号都是成对出现的，有左括号就—定会有右括号，对于多重括号，最终也是完全嵌套匹配的。

这用栈结构正好合适，只要碰到左括号，就将此左括号进栈，不管表达式有多少重括号，反正遇到左括号就进栈，而后面出现右括号时，就让栈顶的左括号出栈，期间让数字运算。

这样，最终有括号的表达式从左到右巡查—遍，栈应该是由空到有元素，最终再因全部匹配成功后成为空栈

对于“9+(3+1)×3＋10÷2” ，用后缀表示法应该的样子：正常数学表达式：9＋(3+1)×3＋10÷2 后缀表达式：9 3 1 - 3＊＋10 2 ／＋ “9 3 1 - 3＊＋10 2 ／＋”，这样的表达式称为后缀表达式，叫后缀的原因在于所有的符号都是在要运算数字的后面出现。

5.2 后缀表达式计算方法

后缀表达式：9 3 1 - 3＊＋10 2 ／＋

初始化空栈，此栈用来对要运算的数字进出使用。

栈及栈的应用——后缀表达式_后缀表达式_07

后缀表达式前三个都是数字，所以9、3、1进栈，如图所示。

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_08

接下来是“-”，所以将栈中的1出栈作为减数，3出栈被减数，并运算3-1得到2，再将2进栈，如图所示。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_09

接着是数字3进栈，如图所示.

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_10

后面是“*”，也就意味着栈中的3和2出栈，2与3相乘得到6，并将6进栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_11

下面是‘‘＋” ，所以栈中6和9出栈，9与6相加，得到15，将15进栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_12

接着是10与2两数字进栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_后缀表达式_13

接下来是符号‘‘／”，因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除，得到5，将5进栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_出栈_14

最后—个是符号“＋”，所以15与5出栈，并相加，得到20，将20进栈。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_15

结果是20出栈，栈变为空。

栈及栈的应用——后缀表达式_进栈_16

5.3 中缀表达式转后缀表达式

中缀表达式“9＋(3+1)×3＋10÷2”转化为后缀表达式“9 3 1 - 3＊＋10 2 ／＋”
方法：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的—部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级不高于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。

思路：