数据结构与算法之复杂度（python版）

Posted 2022-08-30 Coderusher

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构与算法之复杂度（python版）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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一、前言

1984年被授予图灵奖的计算机编程领域的祖师爷尼古拉斯•威茨（Niklaus Wirth），有一句名言在计算机领域人尽皆知，那就是：

关于公式中的三个元素含义可以对照下表

元素	含义
程序	特定问题解决方案的具体实现
算法	解决特定问题的有限求解步骤（思想）
数据结构	数据与数据之间的结构（逻辑）关系

关于这句名言有不少争论，感兴趣的可以移步： "算法+数据结构=程序"过时了吗？

二、正文

1 复杂度

1.1 什么是复杂度？

公式表示：

其中:

字符	含义
$T_(n)$	表示代码执行的时间
$n$	表示数据规模大小
$f_(n)$	表示每行代码执行的次数总和
$O(f_(n))$	表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

举个栗子

def sumOfN(n):
    theSum = 0
    for i in range(1, n+1):
        theSum += i
    return theSum

上述代码的目的是为了计算前 n 个整数累计求和的结果，怎么计算复杂度呢？

在python中，度量复杂度的指标可以选取赋值语句的执行次数

则有

当计算规模 $n -> ∞$ ，得到该代码的复杂度为：

可以看出, $T(n)$ 的精确值并不重要，最终决定 $T(n)$ 的是增速最快的主导部分。

那么，下式的复杂度为多少呢？

很显然，答案是： $O_(n^2)$

1.2.复杂度分析法则

单段代码看高频：比如循环。
多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加。

1.3 常见的大O数量级函数

当 n 较小时，难以确定其数量级
当 n 增长到较大时，容易看出其变化数量级

$f(n)$	名称
$1$	常数
$log(n)$	对数
$n$	线性
$n*log(n)$	对数线性
$n^2$	平方
$n^3$	立方
$2^n$	指数

变化曲线如图

1.4 变位词

为了对于空间复杂度有更好的理解，下面引出 ”变位词“

例如 heart和earth，python和typhon

现在有一个题目，要求：写一个函数，以两个词作为参数，返回这两个词是否为变位词

解法1：逐字检查

实现思路

具体代码


def anagramSolution1(s1,s2):
alist = list(s2)  # 复制s2到列表
pos1 = 0
still0K = True
while pos1 < len(s1) and stillOK:  # 循环s1的每个字符
    pos2 = 0
    found = False
    while pos2 < len(alist) and not found:
        if s1[pos1] == alist[pos2]:  # 在s2逐个对比
            found = True
        else:
            pos2.=pos2.+.1
            if found:
                alist[pos2] = None  # 找到，打勾
            else:
                stillOK = Falsepos1 = pos1 +1  # 未找到，失败
return still0K

print(anagramSolution1( abcd , dcba ) )


- 代码规模计算：

> 外层循环遍历s1每个字符，将内层循环执行n次而内层循环在s2中查找字符，每个字符的对比次数，分别是1、2…n中的一个，而且各不相同

两重**循环**，使用乘积来进行计算，所以总执行次数为：

> $∑_i=1^n i = n(n+1)/2 = 1/2 n^2 + 1/2 n -> O(n^2)$

#### 解法2：排序比较

- 实现思路
> 将两个字符串都按照字母顺序排好序再逐个字符对比是否相同，如果相同则是变位词有任何不同就不是变位词

![image.png](https://s2.51cto.com/images/20220827/1661585455903920.png?x-oss-process=image/watermark,size_14,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_30,g_se,x_10,y_10,shadow_20,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=)

- 具体代码
```python
def anagramSolution2(s1,s2):
    alist1 = list(s1) # 转为列表
    alist2 = list(s2)
    alist1.sort( )  # 分别排序
    alist2.sort( )
    pos = 0
    matches = True
    while pos < len(s1) and matches:
        if alist1[pos] == alist2[pos]:
            pos = pos + 1
        else:
            matches = False  # 逐个对比
    return matches

print(anagramSolution2(  abcde , edcba ) )

代码规模计算：

解法3：暴力枚举

实现思路

暴力枚举往往算作下策，因为 $n!$ 的增长速度是大于 $2^n$ 的

因此暴力枚举恐怕不能算是个好算法

解法4：计数比较

实现思路

def anagramSolution4(s1, s2):
    c1 = [0]* 26
    c2 = [0]* 26
    for i in range(len(s1) ):  # 分别都计数
        pos = ord( s1[i]) - ord( a )
        c1[pos] = c1[pos] +1
    for i in range(len(s2) ):
        pos = ord(s2[i])_- ord ( a)
        c2[pos] = c2 [pos] +1
    j = 0
    still0K = True  # 计数器比较
    while j < 26 and still0K:
        if c1[j] == c2[j]:
            j = i + 1
        else:
            stillOK = False
    return still0K

print(anagramSolution4( " apple, pleap  ))