详解图(性质,结构,遍历,最小生成树,最短路径)

Posted 小倪同学 -_-

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了详解图(性质,结构,遍历,最小生成树,最短路径)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

文章目录

图的基本概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构:G = (V, E)

其中:

  1. 顶点集合V = x|x属于某个数据对象集是有穷非空集合
  2. E = (x,y)|x,y属于V或者E = <x, y>|x,y属于V && Path(x, y)是顶点间关系的有穷集合,也叫做边的集合

(x, y)表示x到y的一条双向通路,即(x, y)是无方向的;Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路,即Path(x, y)是有方向的。

  1. 顶点和边:图中结点称为顶点,第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边,图中的第k条边记作ek,ek = (vi,vj)或<vi,vj>
  2. 有向图和无向图:在有向图中,顶点对<x, y>是有序的,顶点对<x,y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧),<x, y>和<y, x>是两条不同的边,比如下图G3和G4为有向图。在无向图中,顶点对(x, y)是无序的,顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边,这条边没有特定方向,(x, y)和(y,x)是同一条边,比如下图G1和G2为无向图。注意:无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>

  1. 完全图:在有n个顶点的无向图中,若有n * (n-1)/2条边,即任意两个顶点之间有且仅有一条边,则称此图为无向完全图,比如上图G1;在n个顶点的有向图中,若有n * (n-1)条边,即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边,则称此图为有向完全图,比如上图G4。
  2. 邻接顶点:在无向图中G中,若(u, v)是E(G)中的一条边,则称u和v互为邻接顶点,并称边(u,v)依附于顶点u和v;在有向图G中,若<u, v>是E(G)中的一条边,则称顶点u邻接到v,顶点v邻接自顶点u,并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联
  3. 顶点的度:顶点v的度是指与它相关联的边的条数,记作deg(v)。在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和,其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数,记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数,记作outdev(v)。因此:dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意:对于无向图,顶点的度等于该顶点的入度和出度,即dev(v) = indev(v) = outdev(v)
  4. 路径:在图G = (V, E)中,若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj,则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
  5. 路径长度:对于不带权的图,一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数;对于带权的图,一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

  1. 简单路径与回路:若路径上各顶点v1,v2,v3,…,vm均不重复,则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合,则称这样的路径为回路或环。

  1. 子图:设图G = V, E和图G1 = V1,E1,若V1属于V且E1属于E,则称G1是G的子图。

  1. 连通图:在无向图中,若从顶点v1到顶点v2有路径,则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图为连通图

  2. 强连通图:在有向图中,若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径,也存在一条从vj到vi的路径,则称此图是强连通图

  3. 生成树:一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边

图的存储结构

因为图中既有节点,又有边(节点与节点之间的关系),因此,在图的存储中,只需要保存:节点和边关系

邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否,即为0或者1,因此邻接矩阵(二维数组)即是:先用一个数组将定点保存,然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意

  1. 无向图的邻接矩阵是对称的,第i行(列)元素之和,就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的,第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度
  2. 如果边带有权值,并且两个节点之间是连通的,上图中的边的关系就用权值代替,如果两个顶点不通,则使用无穷大代替

  1. 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通,缺陷是如果顶点比较多,边比较少时,矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵,比较浪费空间,并且要求两个节点之间的路径不是很好求

代码实现

namespace matrix

	template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	
		typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
	public:
		Graph() = default;

		Graph(const V* a, size_t n)
		
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			

			_matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			
				_matrix[i].resize(n, MAX_W);
			
		

		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			
				return it->second;
			
			else
			
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;// 编译器检测
			
		

		void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		
			_matrix[srci][dsti] = w;

			// 无向图
			if (Direction == false)
			
				_matrix[dsti][srci] = w;
			
		

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			_AddEdge(srci, dsti, w);
		

		void Print()
		
			// 打印顶点和下标映射关系
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			
				cout << _vertexs[i] << "-" << i << " ";
			
			cout << endl << endl;

			cout << "  ";
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			
				cout<<i<<" ";
			
			cout << endl;

			// 打印矩阵
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			
				cout << i << " ";
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
				
					if (_matrix[i][j] != MAX_W)
						cout << _matrix[i][j] << " ";
					else
						cout << "#" << " ";						
				
				cout << endl;
			
			cout << endl << endl;
			
			// 打印所有的边
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
				
					if ( _matrix[i][j] != MAX_W)
					
						cout << _vertexs[i] << "-" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
					
				
			
		
	private:
		vector<V> _vertexs;	// 顶点集合
		map<V, int> _indexMap;	// 顶点映射下标
		vector<vector<W>> _matrix;	// 领接矩阵
	;

邻接表

邻接表:使用数组表示顶点的集合,使用链表表示边的关系。

  1. 无向图邻接表存储


注意:无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度,只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。

  1. 有向图邻接表存储


注意:有向图中每条边在邻接表中只出现一次,与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数,就是该顶点的出度,也称出度表,要得到vi顶点的入度,必须检测其他所有顶点对应的边链表,看有多少边顶点的dst取值是i。

代码实现

namespace link_table

	template<class W>
	struct Edge
	
		int _srci;
		int _dsti;	// 目标点的下标
		W _w;		// 权值
		Edge<W>* _next;

		Edge(const W& w)
			:_dsti(-1)
			, _srci(-1)
			, _w(w)
			, _next(nullptr)
		
	;

	template<class V, class W, bool Direction = false>
	class Graph
	
		typedef Edge<W> Edge;
	public:
		Graph(const V* a, size_t n)
		
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			

			_tables.resize(n, nullptr);
		

		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			
				return it->second;
			
			else
			
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;// 编译器检测
			
		

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			// 1->2
			Edge* eg = new Edge(w);
			eg->_dsti = dsti;
			eg->_srci = srci;
			eg->_next = _tables[srci];
			_tables[srci] = eg;

			// 2->1
			if (Direction == false)
			
				Edge* eg2 = new Edge(w);
				eg2->_dsti = srci;
				eg2->_srci = dsti;
				eg2->_next = _tables[dsti];
				_tables[dsti] = eg2;
			
		
	private:
		vector<V> _vertexs;	// 顶点集合
		map<V, int> _indexMap;	// 顶点映射下标
		vector<Edge*> _tables;	// 领接表
	;

图的遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0,从v0出发,沿着图中各边访问图中的所有顶点,且每个顶点仅被遍历一次。

图的广度优先遍历

广度优先遍历指从某一点出发,一次性访问所有未被访问的邻节点,再依次从这些已访问过的邻接点出发,一层一层地访问。广度优先遍历是按照广度优先搜索的方式对图进行遍历的。

代码实现

void BFS(const V& src)

	size_t srci = GetVertexIndex(src);

	// 队列和标记数组
	queue<int> q;
	vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

	q.push(srci);
	visited[srci] = true;
	int levelSize = 1;

	size_t n = _vertexs.size();
	while (!q.empty())
	
		// 一层一层出
		for (int i = 0; i < levelSize; i++)
		
			int front = q.front();
			q.pop();
			cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
			// front顶点的邻接顶点入队列
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			
				if (_matrix[front][i] != MAX_W)
				
					if (visited[i] = false)
					
						q.push(i);
						visited[i] = true;
					
				
			
		
		cout << endl;

		levelSize = q.size();
	

	cout << endl;

图的深度优先遍历

先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点。简单来说:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

代码实现

void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)

	cout << srci << ":" << _vertexs[scri] << endl;
	visited[srci] = true;

	// 找一个srci相邻的没有访问过的点,去往深度遍历
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
	
		if (_matrix[srci][i] != MAX_W&&visited[i] = false)
		
			_DFS(i, visited);
		
	


void DFS(const V& src)

	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

	_DFS(srci, visited);

最小生成树

连通图中的每一棵生成树,都是原图的一个极大无环子图,即:从其中删去任何一条边,生成树就不在连通;反之,在其中引入任何一条新边,都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成,则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条:

  1. 只能使用图中的边来构造最小生成树
  2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 选用的n-1条边不能构成回路

构造最小生成树的方法:Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。

贪心算法:是指在问题求解时,总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择,而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。

Kruskal算法

任给一个有n个顶点的连通网络N=V,E,首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G=V,NULL,其中每个顶点自成一个连通分量,其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一),若该边的两个顶点来自不同的连通分量,则将此边加入到G中。如此重复,直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

核心:每次迭代时,选出一条具有最小权值,且两端点不在同一连通分量上的边,加入生成树。

代码实现

struct Edge

	size_t _srci;
	size_t _dsti;
	W _w;

	Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		:_srci(srci)
		, _dsti(dsti)
		, _w(w)
	

	bool operator>(const Edge& e) const
	
		return _w > e._w;
	
;

W Kruskal(Self& minTree)

	size_t n = _vertexs.size();

	minTree._vertexs = _vertexs;
	minTree._indexMap = _indexMap;
	minTree._matrix.resize(n);
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	
		minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
	

	priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque;
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	
		for (size_t j = 0; j < n; j++)
		
			if (i < j&&_matrix[i][j] != MAX_W)
			
				minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
			
		
	

	// 选出n-1条边
	int size = 0;
	W totalW = W();
	UnionFindSet ufs(n);
	while (!minque.empty())
	
		Edge min = minque.top();
		minque.pop();

		if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti))
		
			//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << "->" << min._w << endl;
			minTree._AddEdge(min._srci, min_dsti, min._w);
			ufs.Union(min._srci, min._dsti);
			++size;
			totalW += min._w; 
		
	

	if (size == n - 1)
	
		return totalW;
	
	else
	
		return W();
	

Prim算法

W Prim(Self& minTree, const W& src)

	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	size_t n = _vertexs.size();

	minTree._vertexs = _vertexs;
	minTree._indexMap = _indexMap;
	minTree._matrix.resize(n);
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	
		minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
	

	/*set<int> X;
	set<int> Y;
	X.insert(srci);
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	
		if (i != srci)
		
			Y.insert(i);
		
	*/

	vector<bool> X(n, false);
	vector<bool> Y(n, true);
	X[srci] = true;
	Y[srci] = false;

	// 从X->Y集合中连接的边里面选出最小的边
	priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
	// 先把srci连接的边添加到队列中
	for (

以上是关于详解图(性质,结构,遍历,最小生成树,最短路径)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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BFS- 最小生成树(Dijkstra最短路径拓展)

最小生成树(Prim,Kruskal)--最短路径(Dijkstra,Floyd)算法详解

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数据结构 图