大数取余（快速幂与龟速乘）

Posted 2023-04-09 冷冰殇

前言

在某些情况下我们需要计算$a^n$%b的结果，但当n较大时，$a^n$的结果通常无法直接保存。下面介绍两种方法（循环取余和快速幂取余）直接计算$a^n$%b的结果，无需计算$a^n$。

循环取余法

// 求 (a^n) % b —— 循环求余法
int remainder(int a, int n, int b)
    int res = 1;
    while(n--)
        res = (res * a) % b;
    
    return res;

快速幂取余

首先介绍一下快速幂。我们需要计算$a^n$，可以将n写成二进制数。例如计算$3^{29}$，其中29可以写为$11101_2$，由此我们可以将$3^{29}$写为
$$3^{2^4}+3^{2^3}+3^{2^2}+3^{2^0}$$
上式中的每一项分别对应二进制数$11101_2$中的每个1。

快速幂实现如下（注意我仅使用了int类型作为演示，实际中通常使用long long）：

int fastPow(int a,int n)
	int ans=1,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans*=base;
		base*=base;
		n>>=1;
	
	return ans;

如果要对b取余的话，稍微改一下上面的代码即可

int fastPow(int a,int n,int b)
	int ans=1,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans=(ans*base)%b;
		base=(base%b)*(base%b);
		n>>=1;
	
	return ans;

上述代码可以快速运算大数取余的结果。但如果a较大的话，中间的计算结果也可能会溢出，我们可以借助龟速乘避免溢出
一个简单的龟速乘模板如下

int lowMul(int a,int n)
	int ans=0,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans+=base;
		base+=base;
		n>>=1;
	
	return ans;

其原理和快速幂非常类似，这里不再详细解释。
对上述代码略作修改，即可实现龟速乘取余

int lowMul(int a,int n,int b)
	int ans=0,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans=(ans+base)%b;
		base=(base+base)%b;
		n>>=1;
	
	return ans;

使用快速幂和龟速乘实现大数取余的完整代码如下：

int fastPow(int a,int n,int b)
	int ans=1,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans=lowMul(ans,base,b);
		base=lowMul(base,base,b);
		n>>=1;
	
	return ans;


int lowMul(int a,int n,int b)
	int ans=0,base=a;
	while(n>0)
		if(n&1) ans=(ans+base)%b;
		base=(base+base)%b;
		n>>=1;
	
	return ans;

大数相乘的快速乘技巧

数论 大数相乘的快速乘技巧

1.1 问题

快速乘常用于解决如下问题:long long 与 long long 相乘，对long long 取模。显而易见，结果有可能不在long long 范围内，可能会溢出。因此，我们需要一种对该问题的有效解决方法

2.1 __int128

玄学数据类型，联赛是肯定不能使用的，所以，弃疗(≧?≦)?

2.2 龟速乘

快速幂的思路在于二进制优化一下乘法的过程，实现快速求幂；龟速乘的思路很接近，利用二进制优化一下加法的过程，实现龟速乘法。long long 相加总不会爆long long 吧<(￣ c￣)y▂ξ

ll qsc(ll a,ll b,ll m){
	ll ans=0,base=a,mod=m;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+base)%mod;
		base=(base+base)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

2.3 神奇小技巧

[ull Rightarrow unsigned long long quad quad quad ldRightarrow long double ]

ll qsc(ll a,ll b,ll m){
    return ((ull)a*b-(ull)((ld)a/m*b*b))%m;
}

实际上就是把取模的过程分解了一下

[a imes b mod pequiv a imes b -lfloor frac {a imes b}{p} floor imes p mod p ]

用一下long double处理一下分数，然后再利用unsigned long long 对(2^{64})智能溢出，实现了这个O(1)快速乘。虽然看上去不靠谱，但实际实验一下发现还的确是有正确性的。