蓝桥杯 --- 数学与简单DP（习题）

Posted 2023-04-07 在人间负债^

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蓝桥杯 --- 数学与简单DP（习题）

- 1212. 地宫取宝
- 1214. 波动数列

1212. 地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式
第一行 3 个整数，n,m,k5，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式
输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

数据范围

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 55;
const int MOD = 1000000007;

int n, m, k;
int w[N][N];
int f[N][N][13][14];

int main()

	cin >> n >> m >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ )
		for(int j = 1; j <= m; j ++ )
		
			cin >> w[i][j];
			w[i][j] ++ ;
		
	f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
	f[1][1][0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ )
		for(int j = 1; j <= m; j ++ )
		
			if(i == 1 && j == 1) continue;
			for(int u = 0; u <= k; u ++ )
				for(int v = 0; v <= 13; v ++ )
				
					int &val = f[i][j][u][v];
					val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;
					val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;
					if(u > 0 && v == w[i][j])
					
						for(int c = 0; c < v; c ++ )
						
							val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD;
							val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD;
						
					
				
		
	int res = 0;
	for(int i = 0; i <= 13; i ++ ) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
	cout << res << endl;
	return 0;

1214. 波动数列

观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s
而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式
共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。

由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。

数据范围

1≤n≤1000 ,
−10⁹≤s≤10⁹ ,
1≤a,b≤10⁶

输入样例：

4 10 2 3

输出样例：

样例解释

两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010;
const int MOD = 100000007;

int f[N][N];

int get_mod(int a, int b)

	return (a % b + b) % b;


int main()

	int n, s, a, b;
	cin >> n >> s >> a >> b;
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i < n; i ++ )
		for(int j = 0; j < n; j ++ )
			f[i][j] = (f[i - 1][get_mod(j - a * (n - i), n)] + f[i - 1][get_mod(j + b * (n - i), n)]) % MOD;
	cout << f[n - 1][get_mod(s, n)] << endl;
	return 0;