算法刷题AcWing 102. 最佳牛围栏——二分

Posted 2022-08-08 Ricky_0528

农夫约翰的农场由 $N$ 块田地组成，每块地里都有一定数量的牛，其数量不会少于 $1$ 头，也不会超过 $2000$ 头。

约翰希望用围栏将一部分连续的田地围起来，并使得围起来的区域内每块地包含的牛的数量的平均值达到最大。

围起区域内至少需要包含 $F$ 块地，其中 $F$ 会在输入中给出。

在给定条件下，计算围起区域内每块地包含的牛的数量的平均值可能的最大值是多少。

输入格式
第一行输入整数 $N$ 和 $F$，数据间用空格隔开。

接下来 $N$ 行，每行输入一个整数，第 $i+1$ 行输入的整数代表第 $i$ 片区域内包含的牛的数目。

输出格式
输出一个整数，表示平均值的最大值乘以 $1000$ 再 $向下取整$ 之后得到的结果。

数据范围
$1\le N\le 100000$
$1\le F\le N$
输入样例

10 6
6 
4
2
10
3
8
5
9
4
1

输出样例

6500

①分析

$$\begin{gathered} 使用二分可以将问题转化为一个判定问题，相当于给我们多提供了一个条件 \\ 即给定一个avg，判断是否存在一个方案，使其平均值\ge avg \\ 让每个a_i-=avg，问题就变成了是否存在一段长度\ge F并且和是\ge 0 \\ 下面可以用DP的思想，将所有的段分成n类，每一类的右端点分别为a_1...a_n \\ 假设现在的右端点为a_k，那么这一类的左端点为a_1\sim a_{k-F+1} \\ 要快速求得这一段的和可以用前缀和，即在-=avg后将数组处理为前缀和数组S \\ 那么每次只需要算得S_k-S_{i-1}（i=1\sim k-F+1，i-1=0\sim k-F） \\ 这样对于每一类就只需要求S_k-S_{0\sim k-F中的最小值} \\ 因为k是不断在增加的，那么前一段的最小值可以只用一个变量mins来维护 \\ 最后就只需要用二分来枚举出avg即可 \\ 如果一个方案求得的max\ge 0即该方案合理，那么avg就需要放大，如果max<0那么avg就需要缩小 \\ 放大对应于二分就是l=mid，缩小就是r=mid \end{gathered}$$

②代码

 #include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, F;
double a[N], s[N];

bool check(double avg)

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - avg;
    
    double mins = 0;
    for (int k = F; k <= n; k++)
    
        mins = min(mins, s[k - F]);
        if (s[k] >= mins)
            return true;
    
    return false;


int main()

    scanf("%d %d", &n, &F);
    double l = 0, r = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        scanf("%lf", &a[i]);
        r = max(a[i], r);
    
    
    while (r - l > 1e-5)
    
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    
    
    printf("%d\\n", (int)(r * 1000));
    
    return 0;

③细节分析

• 用前缀和数组下标最好从1开始

  double l = 0, r = 0; // 二分的左右边界
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  
      scanf("%lf", &a[i]);
      r = max(a[i], r); // 二分的右边界应该为数组的最大值
  
  

• 二分

  while (r - l > 1e-5) // 浮点数二分一般在要求的精度下再加二
  
      double mid = (l + r) / 2;
      if (check(mid))
          l = mid;
      else
          r = mid;
  
  

• 输出r而不是l

  printf("%d\\n", (int)(r * 1000));
  // r一定是大于l的，但由于精度的问题l比r小
  // 可能r取值为9.5而l就为9.49999，这时候取l答案就有问题
  

• check函数

  bool check(double avg)
  
      for (int i = 1; i <= n; i++)
          s[i] = s[i - 1] + a[i] - avg; // 求前缀和的同时减去枚举的avg
      
      double mins = 0;
      for (int k = F; k <= n; k++)
      
          mins = min(mins, s[k - F]); // 区间向前滑动每次只多出a[k - F]
          if (s[k] >= mins) // s[k] >= mins就表明s[k]-左侧区间的最小值是大于等于0的
              return true;
      
      return false;