算法--迭代法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法--迭代法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
迭代法
迭代法（Iteration）是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，一般用于数值计算。累加、累乘都是迭代算法的基础应用。典型案例：牛顿迭代法”。
步骤：
- 确定迭代模型：分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型；
- 建立迭代关系式
- 对迭代过程进行控制
经典案例：
示例： 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34
function fibonacci(n)
let a = 1, b = 1, c = 1
for(let i = 2; i <= n; i++)
c = a + b
a = b
b = c
return c
对于斐波那契数列，当n趋于无穷时，数列最后的两项的商 (xn-1/xn) 趋于黄金分割数0.618
示例： 最大公约数，采用辗转相除法（欧几里得算法）
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数，和两数相除余数的最大公约数。
gcd(a, b) = gcd(a, a mod b)
function gcd (a, b)
if (a < b)
[a, b] = [b, a]
let temp
while (b > 0)
temp = a % b
a = b
b = temp
return a
示例： 牛顿迭代法
一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，其比一般的迭代法有更高的收敛速度。
首先，选择一个接近函数 f(x) 零点的点，如图为
(
x
n
,
f
(
x
n
)
)
(x_n, f(x_n))
(xn,f(xn))
计算相应的切线斜率
f
′
(
x
n
)
f^'(x_n)
f′(xn)
k
=
t
a
n
α
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
k = tan\\alpha = \\fracy_2 - y_1x_2 - x_1
k=tanα=x2−x1y2−y1
得到如下方式
y
=
f
(
x
n
)
+
f
′
(
x
n
)
(
x
n
+
1
−
x
n
)
y = f(x_n) + f'(x_n)(x_n+1 - x_n)
y=f(xn)+f′(xn)(xn+1−xn)
和 x 轴的交点坐标，也就是下面方式的解：
f
(
x
n
)
+
f
′
(
x
n
)
(
x
n
+
1
−
x
n
)
=
0
f(x_n) + f'(x_n)(x_n+1 - x_n) = 0
f(xn)+f′(xn)(xn+1−xn)=0
通常
x
n
+
1
x_n+1
xn+1 会比
x
n
x_n
xn 更接近方程的解，接下来继续迭代，直到达到要求的精度即可。
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
\\mathbbx_n+1 = x_n - \\fracf(x_n)f^'(x_n)
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
例： 求
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
ax3+bx2+cx+d=0 方程的根，系数分别是1，2，3，4。求x在1附近的一个实根。
function f(a, b, c, d)
let x0, x1 = 1, f0, f1
do
x0 = x1
f0 = a * Math.pow(x0, 3) + b * Math.pow(x0, 2) + c * x0 + d
// 求导后函数
f1 = 3 * a * Math.pow(x0, 2) + 2 * b * x0 + c
x1 = x0 - f0/f1
while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4))
return x1
例：求根号x的近似值
x
2
=
n
x
2
−
n
=
0
f
(
x
)
=
x
2
−
n
x^2 = n\\\\ x^2 - n = 0\\\\ f(x) = x^2 - n
x2=nx2−n=0f(x)=x2−n
我想求根号2等于多少，我猜测值为4（首先随便猜一个近似值x），根据牛顿迭代定律：
x
n
+
1
=
x
−
x
2
−
n
2
x
=
1
2
(
x
+
n
x
)
x_n+1 = x - \\fracx^2 - n2x = \\frac12(x + \\fracnx)
xn+1=x−2xx2−n=21(x+xn)
1
2
(
4
+
2
4
)
=
2.25
1
2
(
2.25
+
2
2.25
)
=
1.56944
1
2
(
1.56944
+
2
1.56944
)
=
1.42189
1
2
(
1.42189
+
2
1.42189
)
=
1.41423
\\frac12(4 + \\frac24) = 2.25\\\\ \\frac12(2.25 + \\frac22.25) = 1.56944\\\\ \\frac12(1.56944 + \\frac21.56944) = 1.42189\\\\ \\frac12(1.42189 + \\frac21.42189) = 1.41423
21(4+42)=2.2521(2.25+2.252)=1.5694421(1.56944+1.569442)=1.4218921(1.42189+1.421892)=1.41423
function mySqrt (num)
let x0, x1 = 4, f0, f1
do
x0 = x1
f0 = Math.pow(x0, 2) - num
// 求导后函数
f1 = 2 * x0
x1 = x0 - f0/f1
while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4))
return x1
引深：
物体直线运动时，路程 s 与时间 t 的函数关系为 牛顿法