如何理解矩阵特征值

Posted 2023-04-01

从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。
特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。
应用到数据挖掘中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大。 参考技术A 　　从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。
特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

　　特征向量可以看作坐标向量，特征值就是矩阵在该坐标方向上的分量大小值，特征分析相当于提取矩阵的信息出来吧。较大的特征值对应的特征向量就较为重要，矩阵降维就用的提取主特征向量思想。

本征向量本征值正定矩阵的定性理解

下面所有的黑色字体的字母都是矩阵 

本征向量和本征值的定义：

对于一个非零向量x和一个矩阵A，如果标量a使得：

　　　　　　　　Ax=ax

则可以称a为A的本征值，x为本征向量。

 

本征值和本征向量的求法：

　　Ax-ax=0   （1）

　　(A-aI)x=0 （2）

　　则只要A-aI的行列式为零，就可以求出a的值；然后将a的值代入上面的（2）的式子，就可以求出本征向量里面的元素的关系

本征值在几何上的意义：会将对应本征向量方向上的向量进行缩放，既可以说：缩放的倍数就是本征值

正定矩阵的定义：

对于任意非零的向量x和一个对称矩阵A，如果满足：x^TAx>0，就称A为对称矩阵。

正定矩阵在几何上面的理解：

在空间中找到一组为正交的向量，经过正定矩阵的变化，变化后他们还是正交的，且方向会不变。但是他们的向量的模会改变。

猜测：可以用来对图片进行缩放