详解图（性质，结构，遍历，最小生成树，最短路径）
Posted 小倪同学 -_-
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了详解图（性质，结构，遍历，最小生成树，最短路径）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
图的基本概念
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)
其中：
- 顶点集合V = x|x属于某个数据对象集是有穷非空集合
- E = (x,y)|x,y属于V或者E = <x, y>|x,y属于V && Path(x, y)是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合
(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。
- 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>
- 有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>
- 完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
- 邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联
- 顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)
- 路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
- 路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
- 简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
- 子图：设图G = V, E和图G1 = V1，E1，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。
-
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图
-
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图
-
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边
图的存储结构
因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系。
邻接矩阵
因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
注意：
- 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度
- 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替
- 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求
代码实现
namespace matrix
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
public:
Graph() = default;
Graph(const V* a, size_t n)
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
_matrix[i].resize(n, MAX_W);
size_t GetVertexIndex(const V& v)
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
return it->second;
else
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;// 编译器检测
void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
_matrix[srci][dsti] = w;
// 无向图
if (Direction == false)
_matrix[dsti][srci] = w;
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
_AddEdge(srci, dsti, w);
void Print()
// 打印顶点和下标映射关系
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
cout << _vertexs[i] << "-" << i << " ";
cout << endl << endl;
cout << " ";
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
cout<<i<<" ";
cout << endl;
// 打印矩阵
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
cout << i << " ";
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
cout << _matrix[i][j] << " ";
else
cout << "#" << " ";
cout << endl;
cout << endl << endl;
// 打印所有的边
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
if ( _matrix[i][j] != MAX_W)
cout << _vertexs[i] << "-" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
private:
vector<V> _vertexs; // 顶点集合
map<V, int> _indexMap; // 顶点映射下标
vector<vector<W>> _matrix; // 领接矩阵
;
邻接表
邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
- 无向图邻接表存储
注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。
- 有向图邻接表存储
注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。
代码实现
namespace link_table
template<class W>
struct Edge
int _srci;
int _dsti; // 目标点的下标
W _w; // 权值
Edge<W>* _next;
Edge(const W& w)
:_dsti(-1)
, _srci(-1)
, _w(w)
, _next(nullptr)
;
template<class V, class W, bool Direction = false>
class Graph
typedef Edge<W> Edge;
public:
Graph(const V* a, size_t n)
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
_tables.resize(n, nullptr);
size_t GetVertexIndex(const V& v)
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
return it->second;
else
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;// 编译器检测
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
// 1->2
Edge* eg = new Edge(w);
eg->_dsti = dsti;
eg->_srci = srci;
eg->_next = _tables[srci];
_tables[srci] = eg;
// 2->1
if (Direction == false)
Edge* eg2 = new Edge(w);
eg2->_dsti = srci;
eg2->_srci = dsti;
eg2->_next = _tables[dsti];
_tables[dsti] = eg2;
private:
vector<V> _vertexs; // 顶点集合
map<V, int> _indexMap; // 顶点映射下标
vector<Edge*> _tables; // 领接表
;
图的遍历
给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。
图的广度优先遍历
广度优先遍历指从某一点出发，一次性访问所有未被访问的邻节点，再依次从这些已访问过的邻接点出发，一层一层地访问。广度优先遍历是按照广度优先搜索的方式对图进行遍历的。
代码实现
void BFS(const V& src)
size_t srci = GetVertexIndex(src);
// 队列和标记数组
queue<int> q;
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
q.push(srci);
visited[srci] = true;
int levelSize = 1;
size_t n = _vertexs.size();
while (!q.empty())
// 一层一层出
for (int i = 0; i < levelSize; i++)
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
// front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < n; i++)
if (_matrix[front][i] != MAX_W)
if (visited[i] = false)
q.push(i);
visited[i] = true;
cout << endl;
levelSize = q.size();
cout << endl;
图的深度优先遍历
先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点。简单来说：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
代码实现
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
cout << srci << ":" << _vertexs[scri] << endl;
visited[srci] = true;
// 找一个srci相邻的没有访问过的点，去往深度遍历
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
if (_matrix[srci][i] != MAX_W&&visited[i] = false)
_DFS(i, visited);
void DFS(const V& src)
size_t srci = GetVertexIndex(src);
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
_DFS(srci, visited);
最小生成树
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
- 只能使用图中的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。
Kruskal算法
任给一个有n个顶点的连通网络N=V,E，首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G=V,NULL，其中每个顶点自成一个连通分量，其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。
代码实现
struct Edge
size_t _srci;
size_t _dsti;
W _w;
Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
:_srci(srci)
, _dsti(dsti)
, _w(w)
bool operator>(const Edge& e) const
return _w > e._w;
;
W Kruskal(Self& minTree)
size_t n = _vertexs.size();
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._indexMap = _indexMap;
minTree._matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque;
for (size_t i = 0; i < n; i++)
for (size_t j = 0; j < n; j++)
if (i < j&&_matrix[i][j] != MAX_W)
minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
// 选出n-1条边
int size = 0;
W totalW = W();
UnionFindSet ufs(n);
while (!minque.empty())
Edge min = minque.top();
minque.pop();
if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti))
//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << "->" << min._w << endl;
minTree._AddEdge(min._srci, min_dsti, min._w);
ufs.Union(min._srci, min._dsti);
++size;
totalW += min._w;
if (size == n - 1)
return totalW;
else
return W();
Prim算法
W Prim(Self& minTree, const W& src)
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._indexMap = _indexMap;
minTree._matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
/*set<int> X;
set<int> Y;
X.insert(srci);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
if (i != srci)
Y.insert(i);
*/
vector<bool> X(n, false);
vector<bool> Y(n, true);
X[srci] = true;
Y[srci] = false;
// 从X->Y集合中连接的边里面选出最小的边
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
// 先把srci连接的边添加到队列中
for (以上是关于详解图（性质，结构，遍历，最小生成树，最短路径）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
最小生成树(Prim,Kruskal)--最短路径(Dijkstra,Floyd)算法详解
最小生成树(Prim,Kruskal)--最短路径(Dijkstra,Floyd)算法详解