Python 查找算法_众里寻他千百度，蓦然回首那人却在灯火阑珊处（线性二分，分块插值查找算法)

Posted 2022-04-25 一枚大果壳

查找算法是用来检索序列数据（群体）中是否存在给定的数据（关键字），常用查找算法有：

• 线性查找： 线性查找也称为顺序查找，用于在无序数列中查找。
• 二分查找： 二分查找也称为折半查找，其算法用于有序数列。
• 插值查找： 插值查找是对二分查找算法的改进。
• 分块查找： 又称为索引顺序查找，它是线性查找的改进版本。
• 树表查找： 树表查找又可分二叉查找树、平衡二叉树查找。
• 哈希查找： 哈希查找可以直接通过关键字查找到所需要数据。

因树表查找、哈希查找的所需篇幅较多，就不在本文讲解。本文将详细介绍除树表、哈希之外的查找算法，并分析每一种算法的优点和缺点，并提出相应的优化方案。

1. 线性查找

线性查找也称为顺序查找，线性查找属于原始、穷举、暴力查找算法。容易理解、编码实现也简单。但是在数据量较多时，因其算法思想是朴素、穷举的，算法中没有太多优化设计，性能会很低下。

线性查找思想：

• 从头至尾逐一扫描原始列表中的每一个数据，并和给定的关键字进行比较。
• 如果比较相等，则查找成功。
• 当扫描结束后，仍然没有找到与给定关键字相等的数据，则宣布查找失败。

根据线性查找算法的描述，很容易编码实现：

线性查找算法
参数：
    nums: 序列
    key:关键字
返回值：
    关键字在序列中的位置
    如果没有，则返回 -1

def line_find(nums, key):
    for i in range(len(nums)):
        if nums[i] == key:
            return i
    return -1

测试线性算法

if __name__ == "__main__":
    nums = [4, 1, 8, 10, 3, 5]
    key = int(input("请输入要查找的关键字："))
    pos = line_find(nums, key)
    print("关键字 0 在数列的第 1 位置".format(key, pos))

输出结果：
请输入要查找的关键字：3
关键字 3 在数列的 4 位置

线性查找算法的平均时间复杂度分析。

• 运气最好的情况：如果要查找的关键字恰好在数列的第 1 个位置，则只需要查找 1 次就可以了。

• 运气最不好的情况：一至扫描到数列最尾部时，才找到关键字。

• 运气不好不坏：如果要查找的关键字在数列的中间某个位置，则查找的概率是 1/n 。

线性查找的平均查找次数应该=(1+n)/2。换成大 O 表示法则为 O(n) 。

线性查找最糟糕情况是：扫描完整个数列后，没有所要查找的关键字。

改良线性查找算法

可以对线性查找算法进行相应的优化。如设置“前哨站”。所谓“前哨站”，就是把要查找的关键字在查找之前插入到数列的尾部。

def line_find_(nums, key):
    i = 0
    while nums[i] != key:
        i += 1
    return -1 if i == len(nums)-1 else i


测试线性算法

if __name__ == "__main__":
    nums = [4, 1, 8, 10, 3, 5]
    key = int(input("请输入要查找的关键字："))
    # 查找之前，先把关键字存储到列到的尾部
    nums.append(key)
    pos = line_find_(nums, key)
    print("关键字 0 在数列的第 1 位置".format(key, pos))

用"前哨站"优化后的线性查找算法的时间复杂度没有变化，O(n)。或者说从 2 者代码上看，也没有太多变化。

但从代码的实际运行角度而言，第 2 种方案减少了 if 指令的次数，同样减少了编译后的指令，也就减少了 CPU执行指令的次数，这种优化属于微优化，不是算法本质上的优化。

2. 二分查找

二分查找属于有序查找，所谓有序查找，指被查找的数列必须是有序的。如在数列=[4,1,8,10,3,5,12]中查找是否存在关键字 4 ，因数列不是有序的，所以不能使用二分查找，如果要使用二分查找算法，则需要先对数列进行排序。

二分查找使用了二分（折半）算法思想，二分查找算法中有 2 个关键信息需要随时获取：

• 一个是数列的中间位置 mid_pos。
• 一个是数列的中间值mid_val。

现在通过在数列 nums=[1,3,4,5,8,10,12] 中查找关键字 8来了解二分查找的算法流程。

在进行二分查找之前，先定义 2 个位置（指针）变量：

• 左指针 l_idx 初始指向数列的最左边数字。
• 右指针 r_idx 初始指向数列的最右边数字。

第 1 步：通过左、右指针的当前位置计算出数列的中间位置 mid_pos=3，并根据 mid_pos 的值找出数列中间位置所对应的值 mid_val=nums[mid_pos] 是 5。

第 2 步：把数列中间位置的值和给定的关键字相比较。这里关键字是 8，中间位置的值是 5，显然 8 是大于 5，因为数列是有序的，自然会想到没有必要再与数列中 5 之前的数字比较，而是专心和 5 之后的数字比较。

第 3 步：根据比较结果，调整数列的大小，这里的大小调整不是物理结构上调整，而是逻辑上调整，调整后原数列没有变化。也就是通过修改左指针或右指针的位置，从逻辑上改变数列大小。调整后的数列如下图。

第 4 步：重复上述步骤，至到找到或找不到为止。

编码实现二分查找算法

二分查找算法

def binary_find(nums, key):
    # 初始左指针
    l_idx = 0
    # 初始在指针
    r_ldx = len(nums) - 1
    while l_idx <= r_ldx:
        # 计算出中间位置
        mid_pos = (r_ldx + l_idx) // 2
        # 计算中间位置的值
        mid_val = nums[mid_pos]
        # 与关键字比较
        if mid_val == key:
            # 出口一：比较相等，有此关键字，返回关键字所在位置
            return mid_pos
        elif mid_val > key:
            # 说明查找范围应该缩少在原数的左边
            r_ldx = mid_pos - 1
        else:
            l_idx = mid_pos + 1
    # 出口二：没有查找到给定关键字
    return -1


测试二分查找

if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 3, 4, 5, 8, 10, 12]
    key = 3
    pos = binary_find(nums, key)
    print(pos)

通过前面对二分算法流程的分析，可知二分查找的子问题和原始问题是同一个逻辑，所以可以使用递归实现：

递归实现二分查找

def binary_find_dg(nums, key, l_idx, r_ldx):
    if l_idx > r_ldx:
        # 出口一：没有查找到给定关键字
        return -1
    # 计算出中间位置
    mid_pos = (r_ldx + l_idx) // 2
    # 计算中间位置的值
    mid_val = nums[mid_pos]
    # 与关键字比较
    if mid_val == key:
        # 出口二：比较相等，有此关键字，返回关键字所在位置
        return mid_pos
    elif mid_val > key:
        # 说明查找范围应该缩少在原数的左边
        r_ldx = mid_pos - 1
    else:
        l_idx = mid_pos + 1
    return binary_find_dg(nums, key, l_idx, r_ldx)

测试二分查找

if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 3, 4, 5, 8, 10, 12]
    key = 8
    pos = binary_find_dg(nums, key,0,len(nums)-1)
    print(pos)

二分查找性能分析：

二分查找的过程用树形结构描述会更直观，当搜索完毕后，绘制出来树结构是一棵二叉树。

1. 如上述代码执行过程中，先找到数列中的中间数字 5，然后以 5 为根节点构建唯一结点树。

2. 5 和关键字 8 比较后，再在以数字 5 为分界线的右边数列中找到中间数字10，树形结构会变成下图所示。

3. 10 和关键字 8比较后，再在10 的左边查找。

查找到8 后，意味着二分查找已经找到结果，只需要 3 次就能查找到最终结果。

从二叉树的结构上可以直观得到结论：二分查找关键字的次数由关键字在二叉树结构中的深度决定。

4. 上述是查找给定的数字8，为了能查找到数列中的任意一个数字，最终完整的树结构应该如下图所示。

很明显，树结构是标准的二叉树。从树结构上可以看出，无论查找任何数字，最小是 1 次，如查找数字 5，最多也只需要 3 次，比线性查找要快很多。

根据二叉树的特性，结点个数为 n 的树的深度为 h=log₂(n+1)，所以二分查找算法的大 O 表示的时间复杂度为 O(logn)，是对数级别的时间度。

当对长度为1000的数列进行二分查找时，所需次数最多只要 10 次，二分查找算法的效率显然是高效的。

但是，二分查找需要对数列提前排序，前面的时间复杂度是没有考虑排序时间的。所以，二分查找一般适合数字变化稳定的有序数列。

3. 插值查找

插值查找本质是二分查找，插值查找对二分查找算法中查找中间位置的计算逻辑进行了改进。

原生二分查找算法中计算中间位置的逻辑：中间位置等于左指针位置加上右指针位置然后除以 2。

    # 计算中间位置
    mid_pos = (r_ldx + l_idx) // 2

插值算法计算中间位置逻辑如下所示：

# 插值算法中计算中间位置
mid_pos = l_idx + (key - nums[l_idx]) // (nums[r_idx] - nums[l_idx]) * (r_idx - l_idx)

编码实现插值查找：

# 插值查找基于二分法，只是mid计算方法不同
def binary_search(nums, key):
    l_idx = 0
    r_idx = len(nums) - 1
    old_mid = -1
    mid_pos = None
    while l_idx < r_idx and nums[0] <= key and nums[r_idx] >= key and old_mid != mid_pos:
        # 中间位置计算
        mid_pos = l_idx + (key - nums[l_idx]) // (nums[r_idx] - nums[l_idx]) * (r_idx - l_idx)
        old_mid = mid_pos
        if nums[mid_pos] == key:
            return "index is , target value is ".format(mid_pos, nums[mid_pos])
            # 此时目标值在中间值右边，更新左边界位置
        elif nums[mid_pos] < key:
            l_idx = mid_pos + 1
        # 此时目标值在中间值左边，更新右边界位置
        elif nums[mid_pos] > key:
            r_idx = mid_pos - 1
    return "Not find"

li =[1, 3, 4, 5, 8, 10, 12]
print(binary_search(li, 6))

插值算法的中间位置计算时，对中间位置的计算有可能多次计算的结果是一样的，此时可以认为查找失败。

插值算法的性能介于线性查找和二分查找之间。

当数列中数字较多且分布又比较均匀时，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。如果数列中数据分布非常不均匀，此种情况下插值算法并不是最好的选择。

4. 分块查找

分块查找类似于数据库中的索引查询，所以分块查找也称为索引查找。其算法的核心还是线性查找。

现有原始数列 nums=[5,1,9,11,23,16,12,18,24,32,29,25]，需要查找关键字11 是否存在。

第 1 步：使用分块查找之前，先要对原始数列按区域分成多个块。至于分成多少块，可根据实际情况自行定义。分块时有一个要求，前一个块中的最大值必须小于后一个块的最小值。

第 2 步：根据分块信息，建立索引表。索引表至少应该有 2 个字段，每一块中的最大值数字以及每一块的起始地址。显然索引表中的数字是有序的。

第 3 步：查找给定关键字时，先查找索引表，查询关键字应该在那个块中。如查询关键字 29，可知应该在第三块中，然后根据索引表中所提供的第三块的地址信息，再进入第三块数列，按线性匹配算法查找29 具体位置。

编码实现分块查找：

先编码实现根据分块数量、创建索引表，这里使用二维列表保存储索引表中的信息。

分块：建立索引表
参数：
    nums 原始数列
    blocks 块大小

def create_index_table(nums, blocks):
    # 索引表使用列表保存
    index_table = []
    # 每一块的数量
    n = len(nums) // blocks
    for i in range(0, len(nums), n):
        # 索引表中的每一行记录
        tmp_lst = []
        # 最大值
        tmp_lst.append(max(nums[i:i + n-1]))
        # 起始地址
        tmp_lst.append(i)
        # 终止地址
        tmp_lst.append(i + n - 1)
        # 添加到索引表中
        index_table.append(tmp_lst)
    return index_table

测试分块

nums = [5, 1, 9, 11, 23, 16, 12, 18, 24, 32, 29, 25]
it = create_index_table(nums, 3)
print(it)

输出结果：
[[11, 0, 3], [23, 4, 7], [32, 8, 11]]

代码执行后，输出结果和分析的结果一样。

分块查找的完整代码：

分块：建立索引表
参数：
    nums 原始数列
    blocks 块大小

def create_index_table(nums, blocks):
    # 索引表使用列表保存
    index_table = []
    # 每一块的数量
    n = len(nums) // blocks
    for i in range(0, len(nums), n):
        tmp_lst = []
        tmp_lst.append(max(nums[i:i + n - 1]))
        tmp_lst.append(i)
        tmp_lst.append(i + n - 1)
        index_table.append(tmp_lst)
    return index_table


使用线性查找算法在对应的块中查找

def lind_find(nums, start, end):
    for i in range(start, end):
        if key == nums[i]:
            return i
            break
    return -1


测试分块

nums = [5, 1, 9, 11, 23, 16, 12, 18, 24, 32, 29, 25]
key = 16
# 索引表
it = create_index_table(nums, 3)
# 索引表的记录编号
pos = -1
# 在索引表中查询
for n in range(len(it) - 1):
    # 是不是在第一块中
    if key <= it[0][0]:
        pos = 0
    # 其它块中
    if it[n][0] < key <= it[n + 1][0]:
        pos = n + 1
        break
if pos == -1:
    print("0 在 1 数列中不存在".format(key, nums))
else:
    idx = lind_find(nums, it[pos][1], it[pos][2] + 1)
    if idx != -1:
        print("0 在 1 数列的 2 位置".format(key, nums, idx))
    else:
        print("0 在 1 数列中不存在".format(key, nums))

输出结果
16 在 [5, 1, 9, 11, 23, 16, 12, 18, 24, 32, 29, 25] 数列的第 5 位置

分块查找对于整体趋向有序的数列，其查找性能较好。但如果原始数列整体不是有序，则需要提供块排序算法，时间复杂度没有二分查找算法好。

分块查找需要建立索引表，这也需要额外的存储空间，其空间复杂度较高。其优于二分的地方在于只需要对原始数列进行部分排序。本质还是以线性查找为主。

5. 总结

本文讲解了线性、二分、插值、分块查找算法。除此之外，还有其它如树表查找、哈希查找等算法。

分块算法可认为是对线性查找算法的优化。

插值查找可认为是在二分算法基础上的一个变化。

算法没有固定模式，如果学会了二分查找算法，则认为是学会了一招，需要学会领悟，然后再在这一招上演变出更多变化。