啥是高阶矩阵

Posted 2023-03-28

参考技术A 一、 矩阵的特征值
若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例，则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值，称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量。例如有矩阵A
A=
具有性质：
=4×
表明矩阵A有1个特征值为4，相应特征矢量为（2 1 0）T。
矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是：
A·q= ·q,
该方程是可相乘的，所以A必定是方阵，因此只有方阵才有特征值。
当A是n阶方阵时，上述方程的一般形式为：
（A- ·I）·q=0
任何非平凡解（q=0为平凡解）都必须满足：
=0
此特征方程有一般形式：

据此求解特征值的方法并不是一个好方法。
特征值具有下列性质：
（1） 特征方程可以分解因式为：
（A-3）
即n阶矩阵有n个（可相等也可不相等）特征值。
（2） 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹（trace）,记作tr（A）：
tr(A)= ，
即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹。
（3） ，
即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值。如果矩阵是奇矩阵，则矩阵中至少有一个特征值为0。
（4） 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等，因而转置矩阵有相同的特征值。
（5） 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数。因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数。
（6） 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数。这也就是说可用实数形式写出其特征矢量。
（7） 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积。如果A是三角阵，则：

与式（A-3）比较可见，三角矩阵的特征值（对角矩阵也同样）等于其对角元素。
（8） 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换，则其特征值保持不变。
（9） 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以1／f，则矩阵的特征值不变。
二、 矩阵的特征矢量
除亏损矩阵（矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左或右特征矢量）外，矩阵的每个特征值都独立对应一个满足方程：A·q= ·q的右特征矢量。可用消去法求解每一个特征矢量。例如上述方程式中 =1时的右特征矢量求解如下：
=
化为上三角矩阵后，得：q1=q2=2q3。由于方程 ，奇异，方程有无穷多组解，又右端项为0，齐次，必定有解。故任何一个矢量q满足A·q= ·q时，则该矢量的某个倍数也一定满足。
求解一个高阶非对称满秩矩阵的每个特征矢量大约需n3/3次乘法，计算量很大。
可以把全部特征值及对应的右特征矢量组合成一个标准特征值方程：
A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ，
即AQ=QA。同理，也有左特征矢量。
A和AT具有同样的特征矢量。对于每一个与A的某一个特征矢量对应的特征值也都有AT的一个特征矢量p,使得：
ATp= ·p
转置该方程。特征矢量p可看作是A的一个左特征矢量：
pTA= ·pT
矩阵方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中。
表A-1 特征值和左右特征矢量
左特征矢量 特征值 右特征矢量
（7 –10 6）T 4 （2 1 0）T
（-1 2 -1）T 1 （2 2 1）T
（1 –2 2）T -8 （-2 1 4）T
对称矩阵的转置仍是它自身。左右特征矢量相同，不必加以区分。表A-2为一例，其特征矢量一已数乘，使最大元素之值为1。
表A-2 对称矩阵的特征值和特征矢量
矩阵 特征值 右特征矢量
92-1 （1 1 1）T（1 –1 0）T（-0.5 –0.5 1）T
三、 对称矩阵特征矢量的正交性条件
设qi和qj是某一对称矩阵A的特征矢量，对应于不同的特征值 和 ，则
和
转置第2个方程： 。经简单变换后有：
和 ，
因为 ，因此2个方程能相容的唯一可能是： 。其中 ，称为特征矢量的正交性条件。
如果把每个特征矢量都乘以适当倍数使下式成立：
。
先不考虑有相同特征值的可能性，正交条件组合成：

用Q表示特征矢量的集合，即Q= ,则有：
QTQ=I=QQT。
任何满足该方程的实矩阵Q称正交矩阵。
正交矩阵具有重要性质：Q-1=QT。因此，Q不是奇异的。
任何矢量都可以表示成一个对称矩阵的特征矢量的线性组合：
，
即：
X=QC 故 C=QTX。
由正交条件可知：
AQ=QA (QTQ=I)，
A=QAQT

算法刷题-数组排序(图算法算法高阶)螺旋矩阵(数组矩阵)分发糖果(贪心数组)

数组排序(图算法、算法高阶)

编写一个JavaApplication程序,将随机生成的无序数组使用冒泡排序,将这个混乱的数组变成一个从小到大排列的有序的数组并输出。

class demo_sort 
    public static void main(String[] args) 
        int[] numbers = new int[]  1, 5, 8, 2, 3, 9, 4 ;
        for (int i = 0; i < numbers.length - 1; i++) 
            for (int j = 0; j < numbers.length - 1 - i; j++) 
                if (numbers[j] > numbers[j + 1]) 
                    int temp = numbers[j];
                    numbers[j] = numbers[j + 1];
                    numbers[j + 1] = temp;
                
            
        
        System.out.println("从小到大排序后的结果是:");
        for (int i = 0; i < numbers.length; i++)
            System.out.print(numbers[i] + " ");
    

螺旋矩阵(数组、矩阵)

给你一个 m 行 n 列的矩阵 matrix ，请按照 顺时针螺旋顺序 ，返回矩阵中的所有元素。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[1,2,3,6,9,8,7,4,5]

示例 2：

输入：matrix = [[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]
输出：[1,2,3,4,8,12,11,10,9,5,6,7]

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 10
• -100 <= matrix[i][j] <= 100

解答：

class Solution 
    public List<Integer> spiralOrder(int[][] matrix) 
        List<Integer> res = new ArrayList<Integer>();
        if (matrix.length == 0 || (matrix.length == 1 && matrix[0].length == 0))
            return res;
        int left = 0;
        int right = matrix[0].length - 1;
        int top = 0;
        int bottom = matrix.length - 1;
        int num = (right + 1) * (bottom + 1);
        while (num > 0) 
            for (int j = left; j <= right; j++) 
                res.add(matrix[top][j]);
                num--;
            
            if (num <= 0)
                break;
            top++;
            for (int i = top; i <= bottom; i++) 
                res.add(matrix[i][right]);
                num--;
            
            if (num <= 0)
                break;
            right--;
            for (int j = right; j >= left; j--) 
                res.add(matrix[bottom][j]);
                num--;
            
            if (num <= 0)
                break;
            bottom--;
            for (int i = bottom; i >= top; i--) 
                res.add(matrix[i][left]);
                num--;
            
            if (num <= 0)
                break;
            left++;
        
        return res;
    

分发糖果(贪心、数组)

老师想给孩子们分发糖果，有 N 个孩子站成了一条直线，老师会根据每个孩子的表现，预先给他们评分。 你需要按照以下要求，帮助老师给这些孩子分发糖果：

• 每个孩子至少分配到 1 个糖果。
• 评分更高的孩子必须比他两侧的邻位孩子获得更多的糖果。

那么这样下来，老师至少需要准备多少颗糖果呢？

示例 1： 输入：[1,0,2] 输出：5 解释：你可以分别给这三个孩子分发 2、1、2 颗糖果。 示例 2： 输入：[1,2,2] 输出：4 解释：你可以分别给这三个孩子分发 1、2、1 颗糖果。 第三个孩子只得到 1 颗糖果，这已满足上述两个条件。

解答：

class Solution 
    public int candy(int[] ratings) 
        int len = ratings.length;
        int[] left = new int[len];
        int[] right = new int[len];
        left[0] = 1;
        right[len - 1] = 1;
        for (int i = 1; i < len; i++) 
            if (ratings[i] > ratings[i - 1]) 
                left[i] = left[i - 1] + 1;
             else 
                left[i] = 1;
            
        
        for (int i = len - 2; i >= 0; i--) 
            if (ratings[i] > ratings[i + 1]) 
                right[i] = right[i + 1] + 1;
             else 
                right[i] = 1;
            
        
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) 
            res += Math.max(left[i], right[i]);
        
        return res;