KMP 算法中 next 数组手工求解

Posted 2023-03-25

参考技术A

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，如果不研究编码的话，手工实现还是比较简单，小型字符串甚至不需要你去求 next 数组就能看出来怎么移动。但是会有一些题目让你求解 next 数组，这里就以一个题目讲一下手工求解的过程。

例：求串 ‘ababaaababaa’ 的 next 数组

观察第一个元素，它没有前缀和后缀（串本身不能作为前缀或后缀），所以记录数据为0（这个数字表示当存在前缀和后缀相同的情况下，所能包含的最大的元素）

观察前两个元素，前缀为a，后缀为b，不相同，即没有相同的前缀和后缀，所以同样记录数据为0

观察前三个元素，存在前后缀相同的情况，为a，记录数据为1

观察前四个元素，同样存在前缀后缀相同的情况，为ab，记录数据为2

观察第五个元素，相同的前后缀为aba（ aba ba、ab aba ），记录数据为3

同理观察余下的（用加粗表示前缀、下划线表示后缀）

a baba_a_ 1

a babaa_a_ 1

ab abaa_ab_ 2

aba baa_aba_ 3

abab aa_abab_ 4

ababa a_ababa_ 5

ababaa ababaa 6

最后我们得到一组数值：0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6

在这组数开头添加 -1，并删去最后一个数值，数组变为： -1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5

所有值+1，变为：0 1 1 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 5 6，这就是我们需要的 next 数组

需要注意的是，不同的题目next[0]可能为-1，所以 -1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 同样有可能作为 next 数组，但是这两种一定不会同时出现。

题目图片：

KMP算法模式匹配——手工求解next和nextval数组值

本文需要了解KMP算法基本流程和相关概念，如有问题，请先进行基础学习：链接: 天勤-KMP算法易懂版

求解next数组值

给定模式串：“ababaaab”，求解其next数组值。
例子里面的ababaaab，我们定义一个 i 为模式串的下标（从1开始），我们把 i 所指字符之前的串记为F（不包括i所指的字符），手推如下：

1. 当 i = 1 时，此时指向a，发生不匹配，此时属于模式串的第一个字符与主串对应位置不匹配，应从主串的下一位置和模式串的第一个字符继续比较。那么此时，我们也将 next[1] 赋值为 0 来表示这种情况。
2. 当 i = 2 时，此时指向b，发生不匹配，可知F为"a"，此时属于不存在前后重合的部分，应该从主串中发生不匹配的字符与模式串第一个字符开始比较。我们可以把这种情况的最长相等前后缀的长度看为0，那么next[2]赋值为1。
3. 当 i = 3 时，此时指向a，发生不匹配，此时可以知道F是"ab"，与2中情况一样，则next[3]为1。
4. 当 i = 4 时，此时指向b，发生不匹配，此时F为"aba"，那么最长相等前后缀就为"a"，长度为1，所以此时next[4]为2。
5. 当 i = 5 时，此时指向a，发生不匹配，此时F为"abab"，则最长相等前后缀为"ab"，长度为2，故next[5]为3。
6. 当 i = 6 时，此时指向a，发生不匹配，此时F为"ababa"，最长相等前后缀为"aba"，长度为3，则next[6]为4。
7. 当 i = 7 时，此时指向a，发生不匹配，此时F为"ababaa"，最长相等前后缀是"a"，长度为1，则next[7]为2。
8. 当 i = 8 时，此时指向b，发生不匹配，此时F为"ababaaa"，最长相等前后缀是"a"，长度为1，则next[8]为2。

综上，可以得出next数组值为 0 1 1 2 3 4 2 2

求解nextval数组值

给定模式串：“ababaaab”，求解其nextval数组值。
例子里面的ababaaab，我们定义一个 j 为模式串的下标（从1开始），设next数组里面的值为pj(j为下标)

一般步骤（j,k均为下标）：
1.当 j 等于1时，nextval[j]赋值为0，作为特殊标记。
2.当pj不等于pk时（k等于next[j]），nextval[j]赋值为k。
3.当pj等于pk时（k等于next[j]）,nextval[j]赋值为nextval[k]。

手推如下：

$$nextval[1]=0,特殊标记$$
$$p2为b，p_{next\left[2\right]}为a，两者不相等，nextval[2]=next[2]=1;$$
$$p3为a，p_{next\left[3\right]}为a，两者相等，nextval[3]=nextval[next[3]]=0;$$
$$p4为b，p_{next\left[4\right]}为b，两者相等，nextval[4]=nextval[next[4]]=1;$$
$$p5为a，p_{next\left[5\right]}为a，两者相等，nextval[5]=nextval[next[5]]=0;$$
$$p6为a，p_{next\left[6\right]}为b，两者不相等，nextval[6]=next[6]=4;$$
$$p7为a，p_{next\left[7\right]}为b，两者不相等，nextval[7]=next[7]=2;$$
$$p8为b，p_{next\left[8\right]}为b，两者相等，nextval[8]=nextval[next[8]]=1;$$

综上，nextval数组值为0 1 0 1 0 4 2 1