一道有关排列组合的问题（求正整数s分成n个正整数的方法数）

Posted 2023-03-23

首先，对于不定方程
x(1)+x(2)+...+x(n)=s (s>=n>=1)
的正整数解的个数为 C(s-1,n-1)=C(s-1,s-n) 种

但是，如果规定x(1)<=x(2)<=...<=x(n)
那么又应该是多少种呢？

显然不是除以2，因为任何符合条件的x(n)的反序也不完全是符合条件的（有x(1)=x(2)=...=x(n)例外），而且任何不符合条件的x(n)的反序也不一定满足 x(1)<=x(2)<=...<=x(n)，所以问题变得有点复杂。

现在的问题是:
（1）用s，n的函数表示不定方程
x(1)+x(2)+...+x(n)=s (s>=n>=1，x(1)<=x(2)<=...<=x(n)都为正整数)
的正整数解的个数；若难以用函数表示，请给出一种算的方法（即任意给出s、n，通过该方法能算出答案）

（2）另外，设种类数为k，如果对于第i种结果（1=<i<=k)，能表示成
a(i,1)个b(i,1),a(i,2)个b(i,2),...,a(i,?)个b(i,?)的形式（则更好）
【举例：5可拆为
1,1,1,1,1 5个1 a(1,1)=5,b(1,1)=1
1,1,1,2 3个1，1个2，a(2,1)=3,b(2,1)=1,a(2,2)=1,b(2,2)=2
1,1,3 2个1，1个3 a(3,1)=2,b(3,1)=1,a(3,2)=1,b(3,2)=3
1,2,2 1个1，2个2 a(4,1)=1,b(4,1)=1,a(4,2)=2,b(4,2)=2
1,4 1个1，1个4 a(5,1)=1,b(5,1)=1,a(5,2)=1,b(5,2)=4
2,3 1个2，1个3 a(6,1)=1,b(6,1)=2,a(6,2)=1,b(6,2)=3
5 1个5 a(7,1)=1,b(7,1)=5
其中k=7】

以上两问，回答任意问即可给分，回答两问则追加100分
补充：上面的举例写错了，应该是没有什么大影响的

1楼的方法可以算出，思路是从最小数出发，实际上采用的递归的方法，这种方法在编程中可以运用，但不是我想要的，希望能有一个公式。
具体说来，举个例子，n个不同元素中挑k个的方法，你完全可以说

操作f(n,s)表示n个不同元素中挑k个的方法数
先分选第一个，则变为f(n-1,s-1)
若不选第一个，则变为f(n-1,s)
以此类推...这样的话，说了和没说一样
而实际上它是C(n,k)个

我的意思就是它能用一个函数表示，而其中有的参数可以通过试验得到
（表达式类似于"孙子剩余定理"的表示方式）

你的两个问题在数学界早有人探索过了.叫做拆分数问题.是组合数学研究的课题.
你的第一个问题等价于将整数s拆分为n个正整数的拆分数.关于这个问题有几个定理:
1.将整数r拆分为k个正整数的拆分数,等价于将r拆分为最大数为k的拆分数.证明略,你有兴趣可以去搜索下费勒斯图像.
2.将整数r拆分为重复度不超过k的拆分数,等价于将r拆分为不能被k+1整除的拆分数.可以用母函数证明.
所以你的第一个问题可以等价成将s拆分为最大数为n的拆分数,或者将s-n拆分为最大数不超过n的拆分数.
关于该拆分数的编程上的计算方法目前有很多,但是据我所知,在数学上目前还没有公式可以表示.递推公式也没有.
你的第二个问题中的k很容易求,这个k叫做一般拆分数,记做p,例如p(5)=7.
有如下递推关系:
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+...+(-1)^(m-1)*p(n-1/2*m(3m+或-1)),这个也可以用母函数证明.一句多余的话,母函数是组合数学中的重要工具.
还有关于拆分数的穷举,在数学上也没有有效的办法,还是需要借助计算机.
如果你希望获得关于拆分数穷举的程序或者算法,可以再联系我.本人是学计算机的. 参考技术A 首先很好奇你这个问题的动机，数学探究?信息学竞赛?看来后者的可能性更大一些
回答你的两个问题:
1.x1+x2+...+xn=s的正整数解个数(不计未知数的排列顺序)
问题相当于把S个无差别的东西放到N个无差别的盘子里，问总方法数
闭形式的解我不知道，但如果令SUM[S][N]所求的方法数，可以建立下面的递推式:
SUM[S][N]=SUM[S-1][N-1]+SUM[S-N][N]
边界条件SUM[0][N]=0,SUM[1][1]=SUM[2][1]=...=SUM[N][1]=1
解释一下，SUM[S-1][N-1]代表某个盘子里的东西个数是1的方案数，SUM[S-N][N]代表所有盘子里的东西数都>1的方案数
程序设计方面，用正向动态规划可以求出SUM[S][N],时间复杂度O(SN)，空间复杂度最低O(N)(滚动数组)

2.
问题等价于把所有的S-K分解按照下面的规则排序:
1.K值较大的排在前面(例如1,1,1,1,1>1,1,1,2
2.K值相同的字典序在先的排在前面(例如1,1,1>1,2,2)
求第M个排列的形式
我们不妨叫所求排列为M-排列
SUM[a][b]的含义和1的相同
STEP1:
确定值N,使得SUM[S][S]+SUM[S][S-1]+..+SUM[S][N+1]<M≤SUM[S][S]+SUM[S][S-1]+...+SUM[S][N]
显然N就是M-排列的长度
M减去SUM[S][S]+SUM[S][S-1]+...+SUM[S][N+1]
STEP2:
确定数P1,使得SUM[S-1][N-1]+SUM[S-2][N-1]+...+SUM[S-(P1-1)][N-1]<M≤SUM[S-1][N-1]+SUM[S-2][N-1]+...+SUM[S-P1][N-1]
此时P1就是M-排列的第一个元素
M减去SUM[S-1][N-1]+SUM[S-2][N-1]+...+SUM[N-(P1-1)][N-1]
STEP3:
重复STEP2的步骤，可以计算出P2,P3...PN
这样M排列=P1,P2,...PN,1≤PN≤S
这样你的a(i,j),b(i,j)就知道了
程序实现可以用递归形式求解，时间复杂度同样是O(SN)或O(logS*N)(二分查找优化),空间复杂度O(1)。
最后再反驳你一点论点:
C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)"说了等于没说"
这个我不敢苟同。虽然你可以把C(n,k)写成n!/k!/(n-k)!,但是递推式是明确的给出一种可操作的计算组合数的方法。能求得数学上的闭形式解当然是很了不起的。但首先能否求得出来是一回事，其次就算求得出来，形式可能复杂到实际计算的代价和递推相比更差！(当然，如果是纯理论研究不在此例)
希望回答对你有所帮助！ 参考技术B 设f(s,n)为方程
x(1)+x(2)+...+x(n)=s (s>=n>=1) x(1)<=x(2)<=...<=x(n)的正整数解的个数，m=[(s+n-1)/n](即(s+n-1)/n的整数部分)，
当x(1)=1时，方程变为x(2)+...+x(n)=s-1，1<=x(2)<=...<=x(n)，于是该方程解的个数为f(s-1,n-1).
当x(1)=2时，令y(k)=x(k)-1,k=2,3,...,n,则方程变为y(2)+...+y(n)=s-n-1,约束条件为2<=x(2)<=...<=x(n)，即1<=y(2)<=...<=y(n)，该方程解的个数为
f(s-n-1,n-1).
依此类推，当x(1)=k时，方程解的个数为f(s+n-1-nk,n-1),k=1,2,...,m.
故f(s,n)=f(s-1,n-1)+f(s-n-1,n-1)+...+f(s+n-1-mk,n-1).
易知，f(1,1)=f(1,2)=...=f(1,n)=1
对给定的s,n
从f(1,1),f(1,2),..,f(1,n)开始按上面的方法依次算出
f(2,1),f(2,2),..,f(2,n).....一直到f(s,n) 参考技术C C(s,n)就是。
举个例子，12345分成两个数，C（5,2）种分法，（5*4）/（1*2）。
C(s,n)=（s*s-1*s-2*...*s-n+1)/n!。保证分子分母项数都是n。
另，为了简便，C（s,n)=C(s,s-n)这个很容易证明。 参考技术D 哎，算了，上面都写了那么多了。。。

NYOJ 90 —— 求n划分为若干个正整数的划分个数

整数划分

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 
同划分个数。 
例如正整数6有如下11种不同的划分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

输入

第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。

输出

输出每组测试数据有多少种分法。

样例输入

1
6

样例输出

11

下面转自博客：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html

　　所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

　　　　n=m₁+m₂+...+m_i; （其中m_i为正整数，并且1 <= m_i <= n），则：{m₁,m₂,...,m_i}为n的一个划分。

　　如果{m₁,m₂,...,m_i}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)≤m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

　　例如：当n=4时，共有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

　　注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

　　该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。

　　通用的递推公式如下：

　　 　　 f(n, m)    =    1;                                        ( n = 1 or m = 1 )

                           　　 f(n, n);                                 ( n < m )

                            　　1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            　　f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )

1）自顶向下实现的版本：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int f(int i, int j)
{
    if(i==1 || j==1)    return 1;
    if(i<j)    return f(i, i);
    if(i==j)    return f(i, i-1) + 1;
    return f(i, j-1) + f(i-j, j);    
}

int main ()
{
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\\n", f(n, n));    
    }
        
    return 0;
}

 

2）自底向上实现的版本：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 15;

int dp[MAXN][MAXN];

void init()
{
    for(int i=1; i<MAXN; i++) {
        for(int j=1; j<MAXN; j++) {
            if(j>i)    dp[i][j] = dp[i][i];
            else if(j == i)    dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
            else    dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
        }
    }
}

int main ()
{
    init();
    
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\\n", dp[n][n]);
    }
    return 0;
}