数据结构第五站：树和二叉树

Posted 2022-02-19 ITWEL

一.树的定义

​​树（​Tree​）是n(n>=0)个结点的有限集，它既可以是​​空树​​，也可以是​​非空树。​​​​

​​​对于​非空树T​：​​​

​​​（1）​有且仅有​一个称之为根的结点。​​​

​​​（2）除根结点以外的其余结点可以分为m个互不相交的有限集T1，T2，T3.....,Tm,其中每一个集合又是一棵树，并且成为根的子树（​Subtree​）。​​​

二.二叉树

（一）定义

​​二叉树（​Binary Tree​)是n（n>=0）个结点所构成的集合，它既可以是​​空树​​，也可以是​​非空树​​​​

​​​对于​非空树T​：​​​

​​​（1）有且仅有一个称之为根的结点​​​

​​​（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左右子              树​​​

​​​二叉树每个结点最多有两棵子树并且其子树有左右之分，次序不可以任意颠倒​​​

（二）重要类型二叉树

I. 满二叉树

定义

​​深度为k且含有​2^k-1​个结点​​

特点

​​每一层的结点均是最大结点数​​

II.完全二叉树

定义

​​在满二叉树中从最后一个结点开始，​连续去掉​任意个结点，即是一棵完全二叉树​​

特点：

​​（1）叶子结点​只可能​在层次最大的两层出现​​

​​（2）对任意一个结点，若其右分支下的子孙的最大层次为m，其左分支下的子孙的最大层次必为m或m+1(​即任意结点的左右子树层次相差0或1​)​​

III.遍历二叉树

定义

​​遍历二叉树（​traversing binary tree​）是按照某条搜索路径访问树中的每个结点，使每个结点​均被且仅被​访问一次。​​

​​二叉树是有三个基本单元组成：​根结点​、​左子树​和​右子树​​​

​遍历方式（递归）​

​​（1）方式1：先序遍历（根左右）​​

​​（2）方式2：中序遍历（左根右）​​

​​（3）方式3: 后序遍历（左右根）​​

​​（4）方式4：层次遍历（从左到右，从上到下）​​

​​由先序和后序的序列无法唯一确定二叉树的确定形态，由​先序+中序（或后序+中序​）可以唯一确定二叉树的形态​​

​​具体实例如下：​​

​​三个结点有五种二叉树形态如下：​​

IV.线索二叉树

定义

​​二叉树链式存储结构中每个结点均有指向​前驱和后继​指针的二叉树称为线索二叉树​​

​以​先序遍历的线索化为例​​

V.哈夫曼树

定义

​​哈夫曼（Huffman）树又称最优树，是一类​带权路径长度​（如下图）最短的树​​。

哈夫曼树的构造规则

​​（1）根据给定的n个权值w1,w2,w3,w4,w5...wn,构造棵只有根结点的二叉树，这n棵二叉树构成的一个​森林F​.​​

​​  (2)在森林F中选取​两棵根结点的权值最小的树​作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树德根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和​​

​​（3）在森林F中删除这两棵树，同时将​新的二叉树加入到F​中​​

​​（4）重复（2）（3）步骤，直到F中只含有一棵树为止，这棵树便是哈夫曼树​​

​哈夫曼编码规则​

​在构建好哈夫曼树后，根据“​左0右1​”规则来编码，节省空间​

​实例：​

三.二叉树相关代码

（一）二叉树基本操作代码

/*二叉树遍历及相关基本操作    先序、中序、后序遍历使用递归实现，层次遍历使用队列实现 */

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define True 1
#define False 0
//测试数据:FCA##DB###EH##GM###

//树结点
typedef struct BiTNode
    char data;                     //树结点数据域
    struct BiTNode *rchild,*lchild;//左右孩子指针
BiTNode,*BiTree;

//队列结点
typedef struct QNode
    BiTree data;                   //数据域
    struct QNode *next;            //指针域
QNode,*QueuePtr;
typedef struct 
    QueuePtr front;                //队头指针
    QueuePtr rear;                 //队尾指针
LinkQueue;

//函数声明
BiTree CreateBiTree();                 //二叉树的创建（先序遍历）
void Copy(BiTree T,BiTree NewT);       //二叉树的复制
int Depth(BiTree T);                   //计算二叉树的深度
int NodeCount(BiTree T);               //统计二叉树的结点总个数
void PreOrderTraverse(BiTree T);       //先序遍历二叉树
void InOrderTraverse(BiTree T);        //中序遍历二叉树
void BaOrderTraverse(BiTree T);        //后序遍历二叉树
void LevelTraverse(BiTree T);          //层次遍历二叉树（队列）
void Swap(BiTree T);                    //交换左右子树

LinkQueue *InitQueue();                 //队列的初始化
void EnQueue(LinkQueue *Q,BiTree T);    //入队
void DeQueue(LinkQueue *Q);             //出队
int Empty(LinkQueue *Q);                //判断队列是否为空
BiTree GetHead(LinkQueue *Q);            //获取队头元素

int main()
    BiTree T;
    int total,depth;
    cout<<"请输入测试数据："<<endl; 
    T= CreateBiTree();
    cout<<"先序遍历结果为："<<endl;
    PreOrderTraverse(T);
    printf("\\n");
    cout<<"中序遍历结果为："<<endl;
    InOrderTraverse(T);
    printf("\\n");
    cout<<"后序遍历结果为："<<endl;
    BaOrderTraverse(T);
    printf("\\n");
    cout<<"层次遍历结果为："<<endl;
    LevelTraverse(T);
    Swap(T);
    printf("\\n交换左右子树后的后序遍历结果为：\\n");
    BaOrderTraverse(T);
    total=NodeCount(T);
    printf("\\n二叉树的结点总数为：%d\\n",total);
    depth=Depth(T);
    printf("二叉树的深度为：%d\\n",depth);
    return 0;


//二叉树的创建
BiTree CreateBiTree()//按照先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），创建二叉链表表示的二叉树T
    BiTree T;
    char ch;
    cin>>ch;
    if(ch==#)T=NULL;      //递归结束，建立树
    else
      T = new BiTNode;       //生成根结点
      T->data=ch;             //根结点的数据域置为ch
      T->lchild=CreateBiTree();//递归创建左子树
      T->rchild=CreateBiTree();//递归创建右子树
    
    return T;

//复制二叉树
void Copy(BiTree T,BiTree NewT)//复制一棵和T完全相同的二叉树

    if(T==NULL)
    
        NewT=NULL;
        printf("T为空树！\\n");
    
    else
        NewT=new BiTNode;
        数据结构学习之第7章 树和二叉树

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