如何用Python教机器学会牛顿第二定律?

Posted 2023-03-18

牛顿第二定律的常见表述如下：
物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比。

结合我们所学过的牛顿第二定律,我们知道物体的加速度ａ和作用力F之间的关系应该是线性关系,于是我们提出假设 a=w∗F,并进行5次实验，统计到不同的作用力下木块加速度如下表所示:

我们很快就能得出w为2,通过大量实验数据的训练，我们便可以确定参数ｗ是物体质量的倒数(１/m)

这是人的思维,换作机器,我们改怎么才能让机器确定模型的参数w就是物体质量的倒数呢?

机器如一个机械的学生一样，只能通过尝试答对（最小化损失）大量的习题（已知样本）来学习知识（模型参数ｗ），期望用学习到的知识ｗ组成完整的模型H(θ,X)，使模型能回答不知道答案的考试题（未知样本）

在牛顿第二定律的案例中，基于对数据的观测，我们提出的是线性假设，即作用力和加速度是线性关系，用线性方程表示。

因此,在教机器学习牛顿第二定律之前,我们先要创建牛顿第二定律的实验数据:

def creat_npy():
    arr = []
    for i in range(1,1001):
        arr.append(i)
        arr.append(2 * i)
    arr = np.array(arr)
    # print(arr)
    np.save(arr.npy, arr)

creat_npy()

我们先用列表的形式创建实验数据,每条数据包括2项,分别是加速度与作用力,第0-1项是第一条数据，第2-3项是第二条数据，…

这样的数据肯定是不能直接用的,我们需要对数据进行处理:

def load_data():
    data = np.load(arr.npy)
    feature_names = [ F, a ]
    feature_num = len(feature_names)
    # print(data.shape[0])
    data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])
    ratio = 0.8
    offset = int(data.shape[0] * ratio)
    # 训练集和测试集的划分比例
    training_data = data[:offset]
    test_data = data[offset:]
    return training_data, test_data

这里取了80%的数据作为训练集,20%的数据作为样本集

接下来,我们开始定义神经网络,神经网络能干什么?

简单来说,向网络中输入一个值（x），乘以权重，结果就是网络的输出值。对于牛顿第二定律,可以理解为,输入加速度a,乘以权重w,输出作用力F。

那么我们怎么样获取权重呢?

一般来说,我们会把权重设置为一个随机数,而权重可以随着网络的训练进行更新,从而找到最佳的值,这样网络就能尝试匹配输出值与目标值。

我们怎么更新权重才能使它变成我们的期望值?

讲到这里,我们就要进行分析了,这里我们用机器实际生成的权重举例:

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)

可以看到,机器刚开始的权重w是1.77,那么加速度a乘以权重w会得到作用力F为1.77,因为第一个加速度的值为1,可我们期望得到的作用力Fa为2,这里有-0.23的差距:

这里的error肯定是越趋近于0越好,因此我们要想办法使作用力F尽可能地趋近于期望作用力Fa,要想改变作用力F,就必须改变权重,而碰巧的是,现在的权重减去error不就是我们期望的权重吗?

这样想确实没错,像这种比较简单的线性关系里一步到位很简单,可在很多情况下,比如密码学里的函数是十分复杂的,因此我们必须一步一步来,即梯度下降,慢慢地接近正确答案。

这里就要讲到学习率,人的学习是循序渐进的,机器也一样,这里我们设置学习率为0.01:

我们用excel就可以表示出来这其中的关系:

下面来看看如何用代码去实现它:

def update(self, x, y, eta):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = z - y
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        print("权重w:",self.w)

个人认为这是最关键的一步,建议在草稿纸上自己试一下,原理搞明白了再回来看代码:

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)

    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w)
        # print("作用力F:",z)
        return z

    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        print("error:",error)
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        print("cost:",cost)
        return cost

    def update(self, x, y, eta):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = z - y
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        print("权重w:",self.w)

    def train(self, x, y, eta):
        z = self.forward(x)
        print("作用力F:",z)
        L = self.loss(z, y)
        self.update(x, y, eta)
        return L

明白原理后,代码就好写了,下面是训练的代码:

# 获取数据
train_data, test_data = load_data()
x = train_data[:, :-1]
y = train_data[:, -1:]

# 创建网络
net = Network(1)
# 启动训练
losses = []
for i in range(len(x)):
    print("加速度a:",x[i])
    print("实际作用力Fa:",y[i])
    loss = net.train(x[i],y[i], eta=0.01)
    if loss == 0:
        break
    losses.append(loss)
print(losses)

下面是训练的结果:

可以看到,权重在慢慢趋近于2,到达2以后便不再增长:

最后画个图来看一下:

# 画出损失函数的变化趋势
plot_x = np.arange(len(losses))
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

下面是全部代码,可能有写得不好的地方,欢迎大家批评指正!

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def creat_npy():
    arr = []
    for i in range(1,1001):
        arr.append(i)
        arr.append(2 * i)
    print(arr)
    arr = np.array(arr)
    print(arr)
    np.save(arr.npy, arr)

creat_npy()

def load_data():
    data = np.load(arr.npy)
    feature_names = [ F, a ]
    feature_num = len(feature_names)
    # print(data.shape[0])
    data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])
    ratio = 0.8
    offset = int(data.shape[0] * ratio)
    # 训练集和测试集的划分比例
    training_data = data[:offset]
    test_data = data[offset:]
    return training_data, test_data

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)

    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w)
        # print("作用力F:",z)
        return z

    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        print("error:",error)
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        print("cost:",cost)
        return cost

    def update(self, x, y, eta):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = z - y
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        print("权重w:",self.w)

    def train(self, x, y, eta):
        z = self.forward(x)
        print("作用力F:",z)
        L = self.loss(z, y)
        self.update(x, y, eta)
        return L

# 获取数据
train_data, test_data = load_data()
x = train_data[:, :-1]
y = train_data[:, -1:]

# 创建网络
net = Network(1)
# 启动训练
losses = []
for i in range(len(x)):
    print("加速度a:",x[i])
    print("实际作用力Fa:",y[i])
    loss = net.train(x[i],y[i], eta=0.01)
    if loss == 0:
        break
    losses.append(loss)
    print(50*"-")
print(losses)

# 画出损失函数的变化趋势
plot_x = np.arange(len(losses))
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

如何用两个晚上教女生学会Python

文章目录

• • 安装、需求引导和开发模型
  • 命令行计算器
  • 用温度指导穿衣
  • VS Code 和女孩子的衣柜
  • 用遍历来挑选衣物
  • 交互
  • 课后作业

事情的起因是这样的，知乎上有个妹纸加我，说要相亲。尽管我欣喜若狂，但恰巧在外出差，根本走不开。妹纸于是说要不教她编程吧，为了在相亲之前留个好印象，我使出了浑身解数，希望在短时间内让一个毫无编程经验的萌妹纸，掌握Python的基本用法。

安装、需求引导和开发模型

古人云，授人以鱼不如授人以渔，但对于卖课程的人来说，他若真的把“渔”授人了，那他自己的“鱼”也就卖不出去了。这个“渔”，就是快速学习一门编程语言的方法。

而这个方法的核心，就是用需求引导取代知识灌输

一旦建立起项目观念，同时项目进度和学习进度同步推进，那么二者前进的过程，也会变得无比丝滑。

所以接下来，就是要完成这个基本的需求：如何做一个可以挑选衣服的功能。

这个功能可简单、可复杂，对于新手而言，却可以成梯次地拆分成不同的任务需求，每个需求对应一个知识点，随着知识点的增多，需求也不断增多，一定程度上就相当于是瀑布模型的简化版了。

而万事开头难，在确定学习目标后，第一步就是安装Anaconda。在此前，我一向认为这步相对来说比较复杂，故而更推荐在线的IDE，例如这个：在线Jupyter编辑工具。

但在一对一指导的情况下，推荐在线工具过于敷衍，故而一步到位，直接建议安装Anaconda，清华源按照时间排序，拉到最下方，下载2022.05-Windows-x86_64版本。安装过程意外地顺利，基本上出去走一圈就装好了。

命令行计算器

装好Anaconda之后，就可以愉快地使用命令行了。按下Win+r，输入cmd，然后回车，就可以进入命令行。

在命令行中输入python，就可以进入Python的交互环境，然后就可以按照直觉，进行四则混合运算了

x = 100
y = 50
z = 2.5
print(x + y * z)    # 在python中，用#注释，注释就是不会被执行的文字
print(x - y / z)    # print，将括号中的结果打印到屏幕上
print(x * y**2)     # **表示乘方

就是说，就算只是当作计算器，使用Python也是不亏的。

对于一些复杂的计算，可以自行定义函数，比如

def GouGu(x,y):
    return (x**2+y**2)**(1/2)

其中，def是函数的关键字，这个函数表示输入x,y，输出一个(x**2+y**2)*(1/2)，就是勾股定理，相当于

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

需要注意，Python中，通过缩进组织代码，在GouGu这个函数中的所有内容，必须保持相同的缩进，否则就相当于是跳到了函数之外。

在定义好函数之后，就可以在命令行中调用

>>> GouGu(3,4)
5

用温度指导穿衣

在开启Python，稍微尝试一下计算功能后，就要开始带来第一波刺激，实现根据温度筛选衣物。

t = 15
if t > 20 :
    print('天气较热，穿薄一点')
elif t < 0:
    print("天气较冷，穿厚一点")
else:
    print("天气适宜，随便穿")

这就是所谓的条件语句，根据温度不同，实现了一个最基本的穿衣建议。非常神奇的是，这段代码我貌似并没有给她讲解，但她明白是什么意思。

但需要再次注意，Python中通过缩进来组织代码，在if, elif, else这三个关键字冒号的后面，必须进行相同的缩进，Python才能正常工作。

总之，在后续的编程学习中，缩进这两个字出现的频率相当之高。

这里面涉及到的另一个知识点就是字符串，在python中，单引号或者双引号内部的字符，将被识别为字符串，字符串和数值是两种截然不同的东西，这种不同可以从python内置的运算符重载看出端倪

1+1     # 显然等于2
'1'+'1' # 结果为'11'

如果仅仅是做一个if...elif...else语句，那么只能判断一次温度，这个太蠢了，为了随时调用，可以将这个逻辑压入一个函数中

def howToDress(t):
    if t > 20 :
        print('天气较热，穿薄一点')
    elif t < 0:
        print("天气较冷，穿厚一点")
    else:
        print("天气适宜，随便穿")

结合函数的知识，可以进一步理解缩进，即if, elif, else是相对于def进行的缩进；而那三个print则是相当于条件语句的缩进。

这样，就可以更加方便地进行穿衣指导了

>>> haoToDress(15)
天气适宜，随便穿

VS Code 和女孩子的衣柜

在本节之前，一直通过命令行交互地进行Python练习，这没毛病，但显然无法做一个项目，因为命令行不会把敲过的命令留存下来。

Anaconda提供了Python的IDE，Spider；也提供了交互式记事本Jupyter，但均非长久之计。考虑到她无比顺畅地完成了Anaconda的安装，那么关于编辑器的选择，自然也要一步到位，上VS Code。

VS Code的安装过程也非常顺利，第一次打开会提示安装中文语言包，安装即可。

接下来，新建一个文件夹，以后所有的代码都存放在这个文件夹里，然后用VS Code打开这个文件夹，右键这个文件夹，并新建一个.py文件。VS Code会自动检测到py文件，按照提示，安装Python扩展。由于她只给了我这个截图，说明后续的过程都是顺利的。

接下来，如本节标题所说，要把女孩子的衣柜写入这个.py文件中。

而衣柜的前提是有一件衣服，那么如何在Python中描述一件衣服呢？

答案是字典，或者说键值对列表，通过键和值的一一对应，在描述客观事物属性的同时，也实现了对属性值的快速索引。

dress = 
    "name":"羊羔绒外套",
    "color":"白色",
    "style":"外套"
    "low_temp":-5,
    "high_temp":8,

首先，这是一个名为字典的变量，里面包含了各种属性，比如"name", “color"等，每个属性都对应一个值，这个值可以是字符串，比如"color"是"白色”，也可以是数值，比如"low_temp"为-5，表示温度高于-5°时可以穿。

如想单独提出dress的某个属性，可用方括号索引

print(dress['color'])   #"白色"

如想运行.py文件，只需在命令行中输入python XXX.py，便可以运行python脚本。VS Code中是自带命令行的，只需按下Ctrl+~就可以出现。关于这个我忘了说，以至于她一直在那个“黑黑的”命令行中操作。

所谓“衣柜”，就是一个装着各种衣服的列表，所谓列表，就是用[]罗列着的内容，如果用字典来理解列表，就相当于是以自然数为键的字典。

而后她十分兴奋，说这不得写几个小时，吓得我大惊失色，说先稍微列出几个做测试就行，等以后学了面向对象，直接就用类来做了，最后得到了一个衣柜的demo，如下。

与字典的键值索引类似，列表采取自然数索引，例如

print(clothes[0])   # 将输出羊羔绒外套这个字典

用遍历来挑选衣物

有了衣柜，有了选衣服的逻辑，就可以实现一个最基础的选择衣服的函数。这个需求也来一步一步做，还是先完善通过温度选择衣物的方法

def whichDress(t):
    selected = []
    for cloth in clothes:
        if cloth['low_temp'] < t < cloth['high_temp']:
            selected.append(cloth)
    return selected

其中，cloth['low_temp'] < t < cloth['high_temp']这种写法是在我没有做任何说明的情况下，她自己写的。这一方面说明她是个挺有天赋的妹纸，同时也说明Python是一款非常甜的语言（指语法糖超多）。

但她对append是干啥的不理解，所以我让她做如下测试

a = []
a.append("b")
print(a)    # ["b"]
a.append("c")
print(a)    # ["b", "c"]

整段函数的逻辑就是，输入一个温度，然后遍历clothes字典，挑选出所有符合温度要求的衣服，最后输出。

for...in语句非常直观，以for cloth in clothes为例，就是将clothes列表中所有的内容，按次赋给cloth，这就是所谓的遍历。

当然，for...in最常用的方法应该是结合range，实现对自然数的遍历，上面的那个遍历过程也可以写为

for i in range(len(chothes)):
    print(clothes[i])

其中，len可以得到clothes的元素个数，至于range是什么，可以用下面的表达式试一下

for i in range(5):
    print(i)

交互

能够做到这个程度，妹纸就已经非常兴奋了，毕竟能够用温度来选择衣物，也就意味着能够用其他特征来筛选衣物。接下来要完成的，就是另一个重要的内容：交互。

我们常见的程序都是通过图形界面来完成交互，但对于新人程序媛来说，这显然不太现实，所以这种交互，也是建立在命令行之上的。

在python中，通过print将字符串打印到命令行，反过来，通过input来从命令行请求值，例如

>>> t = input("请输入温度")
请输入温度15
>>> print(t)
15

有了这个，就可以做到交互式的衣物择取，但这里有一个知识点，即通过input得到的值，是一个字符串，尽管看上去15是个数字，但只是伪装成数字的字符串罢了，如果想进行计算或者比较，必须通过int或者float使之变成整数或者小数。

>>> t + 1
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: can only concatenate str (not "int") to str
>>> int(t)+1
16
>>> float(t)+1
16.0

查看报错信息，也是编程学习过程中不可或缺的任务，Python的报错信息已经非常人性化了，TypeError为数据类型错误，后面说只能把字符串(str)和字符串拼接起来，而不能是int。换句话说，在t+1这样的一个表达式中，+根据t的数据类型，自动表现为字符串拼接的意思，但因为数据类型不同，而无法实现。

有了这个功能，就可以实现手动输入温度，并给出可选衣物。如果将这样的一个逻辑写入一个死循环中，就可以选择多种温度下的情况

while True:
    t = input("请输入温度")
    dress = whichDress(int(t))
    print(dress)

在这步操作时，如果忘了写input，而恰好前面某个地方又给t赋了值的话，就会导致命令行疯狂地不间断地输出，这时不必慌张，更不用关掉命令行，只需按下Ctrl+C就可以了

课后作业

最后，留下一个妹纸在调试过程中出现的小问题，如果您阅读并实现了本文的操作，看看能不能找出问题的所在

至此，妹纸已经基本学会了Python，所以最近的一个多月都没怎么回我消息了，她一定是在准备相亲吧，我们以后的孩子是学Python还是学C++呢？