LeetCode：不同路径（动态规划）

Posted 2021-12-03 Yonmin

难度： 中等

非常典型的动态规划问题

题目

一个机器人位于一个 ​​m x n​​ 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1

输入：m = 3, n = 7 输出：28 

示例2

输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。  1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下 

解题思路

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状态： d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示从 ​​Start​​ 走到 ​​(i,j)​​ 点的不同路径条数

边界条件： i = 0    o r    j = 0 i=0 \\; or \\; j=0 i=0orj=0 时，易知此时 d p [ i ] [ j ] = 1 dp[i][j]=1 dp[i][j]=1

状态转移方程：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]

输出： d p [ m − 1 ] [ n − 1 ] dp[m-1][n-1] dp[m−1][n−1] 即为总共的路径

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代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        // 初始化第一行和第一列
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        // 状态转移方程
        for(int i = 1; i < m; i++) {
            for(int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}