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Posted 2021-12-03 Liziba

一、简介

首先抛出一个业务问题：

假设产品经理让你设计一个模块，来统计PV（Page View页面的访问量），那么你会怎么做？

我想很多人对于PV（Page View页面的访问量）的统计会很快的想到使用Redis的incr、incrby指令，给每个网页配置一个独立Redis计数器就可以了，把这个技术区的key后缀加上当它的日期，这样一个请求过来，就可以通过执行incr、incrby指令统计所有PV。

此时当你完成这个需求后，产品经理又让你设计一个模块，统计UV（Unique Visitor，独立访客），那么你又会怎么做呢？

UV与PV不一样，UV需要根据用户ID去重，如果用户没有ID我们可能需要考虑使用用户访问的IP或者其他前端穿过了的唯一标志来区分，此时你可能会想到使用如下的方案来统计UV。

1. 存储在mysql数据库表中，使用distinct count计算不重复的个数
2. 使用Redis的set、hash、bitmaps等数据结构来存储，比如使用set，我们可以使用用户ID，通过sadd加入set集合即可

但是上面的两张方案都存在两个比较大的问题：

1. 随着数据量的增加，存储数据的空间占用越来越大，对于非常大的页面的UV统计，基本不合实际
2. 统计的性能比较慢，虽然可以通过异步方式统计，但是性能并不理想

因此针对UV的统计，我们将会考虑使用Redis的新数据类型HyperLogLog.

HyperLogLog是用来做基数统计的算法，它提供不精确的去重计数方案（这个不精确并不是非常不精确），标准误差是0.81%，对于UV这种统计来说这样的误差范围是被允许的。HyperLogLog的优点在于，输入元素的数量或者体积非常大时，基数计算的存储空间是固定的。在Redis中，每个HyperLogLog键只需要花费12KB内存，就可以计算接近2^64个不同的基数。

但是：HyperLogLog只能统计基数的大小（也就是数据集的大小，集合的个数），他不能存储元素的本身，不能向set集合那样存储元素本身，也就是说无法返回元素。

HyperLogLog指令都是pf(PF)开头，这是因为HyperLogLog的发明人是Philippe Flajolet，pf是他的名字的首字母缩写。

二、命令

2.1 PFADD key element [element …]

将任意数量的元素添加到指定的 HyperLogLog 里面，当PFADD key element [element …]指令执行时，如果HyperLogLog的估计近似基数在命令执行之后出现了变化，那么命令返回1，否则返回0，如果HyperLogLog命令执行时给定的键不存在，那么程序将先创建一个空的HyperLogLog结构，再执行命令。

该命令可以只给定key不给element，这种以方式被调用时：

• 如果给定的键存在且已经是一个HyperLogLog，那么这种调用不会产生任何效果
• 如果给定的键不存在，那么命令会闯进一个空的HyperLogLog，并且给客户端返回1

返回值：

如果HyperLogLog数据结构内部存储的数据被修改了，那么返回1，否则返回0

时间复杂度：

O(1)

使用示例：

2.2 PFCOUNT key [key …]

PFCOUNT 指令后面可以跟多个key，当PFCOUNT key [key …]命令作用于单个键时，返回存储在给定键的HyperLogLog的近似基数，如果键不存在，则返回0；当PFCOUNT key [key …]命令作用于多个键时，返回所给定HyperLogLog的并集的近似基数，这个近似基数是通过将索引给定HyperLogLog合并至一个临时HyperLogLog来计算得出的。

返回值：

返回给定HyperLogLog包含的唯一元素的近似数量的整数值

时间复杂度：

当命令作用于单个HyperLogLog时，时间复杂度为O(1)，并且具有非常低的平均常数时间。当命令作用于N个HyperLogLog时，时间复杂度为O(N)，常数时间会比单个HyperLogLog要大的多。

使用示例：

2.3 PFMERGE destkey sourcekey [sourcekey …]

将多个HyperLogLog合并到一个HyperLogLog中，合并后HyperLogLog的基数接近于所有输入HyperLogLog的可见集合的并集，合并后得到的HyperLogLog会被存储在destkey键里面，如果该键不存在，那么命令在执行之前，会先为该键创建一个空的HyperLogLog。

返回值：

字符串回复，返回OK

时间复杂度：

O(N)，其中N为被合并的HyperLogLog的数量，不过这个命令的常数复杂度比较高

使用示例：

三、原理

3.1 伯努利试验

HyperLogLog的算法设计能使用12k的内存来近似的统计2^64个数据，这个和伯努利试验有很大的关系，因此在探究HyperLogLog原理之前，需要先了解一下伯努利试验。

以下是百度百科关于伯努利试验的介绍：

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为​​n重伯努利试验​​，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

伯努利试验是数据概率论中的一部分，它的典故源于“抛硬币”。

一个硬币只有正面和反面，每次抛硬币出现正反面的概率都是50%，我们一直抛硬币直到出现第一次正面为止，记录抛硬币的次数，这个就被称为一次伯努利试验。伯努利试验需要做非常多的次数，数据才会变得有意义。

对于n次伯努利试验，出现正面的次数为n，假设每次伯努利试验抛掷的次数为k（也就是每次出现正面抛掷的次数），第一次伯努利试验抛掷次数为k1，第n次伯努利试验抛掷次数为kn，在这n次伯努利试验中，抛掷次数最大值为kmax。

上述的伯努利试验，结合极大似然估算方法​​（极大似然估计）​​，得出n和kmax之间的估算关系：n=2^kmax。很显然这个估算关系是不准确的，例如如下案例：

第一次试验：抛掷1次出现正面，此时k=1,n=1;

第二次实验：抛掷3次出现正面，此时k=3,n=2;

第三次实验：抛掷6次出现正面，此时k=6,n=3;

第n次试验：抛掷10次出现正面，此时k=10,n=n,通过估算关系计算，n=2^10

上述案例可以看出，假设n=3，此时通过估算关系n=2^kmax，2^6 ≠3，而且偏差很大。因此得出结论，这种估算方法误差很大。

3.2 估值优化

关于上述估值偏差较大的问题，可以采用如下方式结合来缩小误差：

1. 增加测试的轮数，取平均值。假设三次伯努利试验为1轮测试，我们取出这一轮试验中最大的的kmax作为本轮测试的数据，同时我们将测试的轮数定位100轮，这样我们在100轮实验中，将会得到100个kmax，此时平均数就是(k_max_1 + ... + k_max_m)/m，这里m为试验的轮数，此处为100.
2. 增加修正因子，修正因子是一个不固定的值，会根据实际情况来进行值的调整。

上述这种增加试验轮数，去kmax的平均值的方法，是LogLog算法的实现。因此LogLog它的估算公式如下：

HyperLogLog与LogLog的区别在于HyperLogLog使用的是调和平均数，并非平均数。调和平均数指的是倒数的平均数​​（调和平均数）​​。调和平均数相比平均数能降低最大值对平均值的影响，这个就好比我和马爸爸两个人一起算平均工资，如果用平均值这么一下来我也是年薪数十亿，这样肯定是不合理的。

使用平均数和调和平均数计算方式如下：

假设我的工资20000，马云1000000000

使用平均数的计算方式：(20000 + 1000000000) / 2 = 500010000

调和平均数的计算方式：2/(1/20000 + 1/1000000000) ≈ 40000

很明显，平均工资月薪40000更加符合实际平均值，5个亿不现实。

调和平均数的基本计算公式如下：

3.3 HyperLogLog的实现

根据3.1和3.2大致可以知道HyperLogLog的实现原理了，它的主要精髓在于通过记录下低位连续零位的最大长度K（也就是上面我们说的kmax），来估算随机数的数量n。

任何值在计算机中我们都可以将其转换为比特串，也就是0和1组成的bit数组，我们从这个bit串的低位开始计算，直到出现第一个1为止，这就好比上面的伯努利试验抛硬币，一直抛硬币直到出现第一个正面为止（只是这里是数字0和1，伯努利试验中使用的硬币的正与反，并没有区别）。而HyperLogLog估算的随机数的数量，比如我们统计的UV，就好比伯努利试验中试验的次数。

综上所述，HyperLogLog的实现主要分为三步：

第一步：转为比特串

通过hash函数，将输入的数据装换为比特串，比特串中的0和1可以类比为硬币的正与反，这是实现估值统计的第一步

第二步：分桶

分桶就是上面3.2估值优化中的分多轮，这样做的的好处可以使估值更加准确。在计算机中，分桶通过一个单位是bit，长度为L的大数组S，将数组S平均分为m组，m的值就是多少轮，每组所占有的比特个数是相同的，设为 P。得出如下关系：

• L = S.length
• L = m * p
• 数组S的内存 = L / 8 / 1024 (KB)

在HyperLogLog中，我们都知道它需要12KB的内存来做基数统计，原因就是HyperLogLog中m=16384，p=6，L=16384 * 6，因此内存为=16384 * 6 / 8 / 1024 = 12 (KB)，这里为何是6位来存储kmax，因为6位可以存储的最大值为64，现在计算机都是64位或32位操作系统，因此6位最节省内存，又能满足需求。

第三步：桶分配

最后就是不同的数据该如何分配桶，我们通过计算hash的方式得到比特串，只要hash函数足够好，就很难产生hash碰撞，我们假设不同的数值计算得到不同的hash值，相同的数值得到相同的hash值（这也是HyperLogLog能用来统计UV的一个关键点），此时我们需要计算值应该放到那个桶中，可以计算的方式很多，比如取值的低16位作为桶索引值，或者采用值取模的方式等等。

3.4 代码实现-BernoulliExperiment（伯努利试验）

首先来写一个3.1中伯努利试验n=2^kmax的估算值验证，这个估算值相对偏差会比较大，在试验轮次增加时估算值的偏差会有一定幅度的减小，其代码示例如下：

package com.lizba.pf;  import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;  /**  * <p>  *      伯努利试验 中基数n与kmax之间的关系  n = 2^kmax  * </p>  *  * @Author: Liziba  * @Date: 2021/8/17 23:16  */ public class BernoulliExperimentTest {      static class BitKeeper {          /** 记录最大的低位0的长度 */         private int kmax;           public void random() {             // 生成随机数             long value = ThreadLocalRandom.current().nextLong(2L << 32);             int len = this.lowZerosMaxLength(value);             if (len > kmax) {                 kmax = len;             }          }          /**          * 计算低位0的长度          * 这里如果不理解看下我的注释          * value >> i 表示将value右移i,  1<= i <32 ， 低位会被移出          * value << i 表示将value左移i,  1<= i <32 ， 低位补0          * 看似一左一右相互抵消，但是如果value低位是0右移被移出后，左移又补回来，这样是不会变的，但是如果移除的是1，补回的是0，那么value的值就会发生改变          * 综合上面的方法，就能比较巧妙的计算低位0的最大长度          *          * @param value          * @return          */         private int lowZerosMaxLength(long value) {             int i = 1;             for (; i < 32; i++) {                 if (value >> i << i != value) {                     break;                 }             }             return i - 1;         }      }       static class Experiment {         /** 测试次数n */         private int n;         private BitKeeper bitKeeper;          public Experiment(int n) {             this.n = n;             this.bitKeeper = new BitKeeper();         }          public void work() {             for(int i = 0; i < n; i++) {                 this.bitKeeper.random();             }         }          /**          * 输出每一轮测试次数n          * 输出 logn / log2 = k 得 2^k = n，这里的k即我们估计的kmax          * 输出 kmax，低位最大0位长度值          */         public void debug() {             System.out.printf("%d %.2f %d\\n", this.n, Math.log(this.n) / Math.log(2), this.bitKeeper.kmax);         }     }      public static void main(String[] args) {         for (int i = 0; i < 100000; i++) {             Experiment experiment = new Experiment(i);             experiment.work();             experiment.debug();         }     }  }

我们可以通过修改main函数中，测试的轮次，再根据输出的结果来观察，n=2^kmax这样的结果还是比较吻合的。

3.5 代码实现-HyperLogLog

接下来根据HyperLogLog中采用调和平均数+分桶的方式来做代码优化，模拟简单版本的HyperLogLog算法的实现，其代码如下：

package com.lizba.pf;  import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;  /**  * <p>  *      HyperLogLog 简单实现  * </p>  *  * @Author: Liziba  * @Date: 2021/8/18 10:40  */ public class HyperLogLogTest {      static class BitKeeper {          /** 记录最大的低位0的长度 */         private int kmax;           /**          * 计算低位0的长度，并且保存最大值kmax          *          * @param value          */         public void random(long value) {             int len = this.lowZerosMaxLength(value);             if (len > kmax) {                 kmax = len;             }         }          /**          * 计算低位0的长度          * 这里如果不理解看下我的注释          * value >> i 表示将value右移i,  1<= i <32 ， 低位会被移出          * value << i 表示将value左移i,  1<= i <32 ， 低位补0          * 看似一左一右相互抵消，但是如果value低位是0右移被移出后，左移又补回来，这样是不会变的，但是如果移除的是1，补回的是0，那么value的值就会发生改变          * 综合上面的方法，就能比较巧妙的计算低位0的最大长度          *          * @param value          * @return          */         private int lowZerosMaxLength(long value) {             int i = 1;             for (; i < 32; i++) {                 if (value >> i << i != value) {                     break;                 }             }             return i - 1;         }     }       static class Experiment {          private int n;         private int k;         /** 分桶，默认1024，HyperLogLog中是16384个桶，并不适合我这里粗糙的算法 */         private BitKeeper[] keepers;          public Experiment(int n) {             this(n, 1024);         }          public Experiment(int n, int k) {             this.n = n;             this.k = k;             this.keepers = new BitKeeper[k];             for (int i = 0; i < k; i++) {                 this.keepers[i] = new BitKeeper();             }         }          /**          * (int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length) -> 计算当前m在keepers数组中的索引下标          * 0xfff0000 是一个二进制低16位全为0的16进制数，它的二进制数为 -> 1111111111110000000000000000          * m & 0xfff0000 可以保理m高16位， (m & 0xfff0000) >> 16 然后右移16位，这样可以去除低16位，使用高16位代替高16位          * ((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length 最后取模keepers.length，就可以得到m在keepers数组中的索引          */         public void work() {             for (int i = 0; i < this.n; i++) {                 long m = ThreadLocalRandom.current().nextLong(1L << 32);                 BitKeeper keeper = keepers[(int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length)];                 keeper.random(m);             }         }          /**          * 估算 ，求倒数的平均数，调和平均数          *          * @return          */         public double estimate() {             double sumBitsInverse = 0.0;             // 求调和平均数             for (BitKeeper keeper : keepers) {                 sumBitsInverse += 1.0 / (float) keeper.kmax;             }             double avgBits = (float) keepers.length / sumBitsInverse;             return Math.pow(2, avgBits) * this.k;         }      }      /**      * 测试      *      * @param args      */     public static void main(String[] args) {         for (int i = 100000; i < 1000000; i+=100000) {             Experiment experiment = new Experiment(i);             experiment.work();             double estimate = experiment.estimate();             // i 测试数据             // estimate 估算数据             // Math.abs(estimate - i) / i 偏差百分比             System.out.printf("%d %.2f %.2f\\n", i, estimate, Math.abs(estimate - i) / i);         }     }  }

测试结果如下，误差基本控制在0.08以下，还是很高的误差，所以说算法很粗糙