简单稳健估计法——原理与 Python 实现

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本文主要参考 ISO 13528 C.2 条款。

设样本为 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,,xn

均值估计

中位数

将样本 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,,xn 按升序进行排序,可得: x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_\\1\\, x_\\2\\, \\cdots, x_\\n\\ x1,x2,,xn

则中位数为:
med ( x i ) = x n / 2 + x n / 2 + 1 2 n 是偶数 x n + 1 2 n 是奇数 \\textmed(x_i) =\\left\\\\beginarrayc \\fracx_\\n/2\\ + x_\\n/2+1\\2 & n \\text是偶数 \\\\ x_\\\\fracn+12\\ & n \\text是奇数 \\endarray\\right. med(xi)=2xn/2+xn/2+1x2n+1n是偶数n是奇数

样本均值

x ˉ = ∑ i = 1 n x i n \\barx = \\frac\\sum_i=1^n x_i n xˉ=ni=1nxi

稳健标准差

MADe

M A D e = 1.483 × med ( ∣ x i − med ( x i ) ∣ ) MADe = 1.483 \\times \\textmed ( |x_i - \\textmed(x_i)| ) MADe=1.483×med(ximed(xi))

nIQR

首先找出 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,,xn 的上四分位数,和下四分位数,记为 Q3、Q1。前者是使得数据有 1/4 大于(或有可能等于) Q3,其余小于(或有可能等于)Q3 的数据有 3/4 。

Q3 和 Q1 的计算方式为:如果能够直接找到四分位数,则直接取;若找不到,则使用下述公式进行插值:
Q = x j + x i − x j fraction Q = x_j + \\fracx_i - x_j \\textfraction Q=xj+fractionxixj
其中, fraction \\textfraction fraction 为大于 Q 的数据数。比如 Q3 时为 fraction = 1 / 4 \\textfraction = 1/4 fraction=1/4, Q1 为 fraction = 3 / 4 \\textfraction = 3/4 fraction=3/4 x i , x j x_i, x_j xi,xj 为接近 Q 位置前后两个数 x i , x j x_i, x_j xi,xj,其中 x i > x j x_i > x_j xi>xj

例如 [ 1 , 2 , 3 , 4 ] [1,2,3,4] [1,2,3,4] 的 Q1 为 1.75,Q3 为 3.25。当然,也可以考虑其他插值方法,如去 x i , x j x_i, x_j xi,xj 的中位数,或取最接近 四分位数 的 x x x

于是 nIQR 为:
nIQR = 0.7413 × ( Q 3 − Q 1 ) \\textnIQR = 0.7413 \\times (Q3-Q1) nIQR=0.7413×(Q3Q1)

以上是关于简单稳健估计法——原理与 Python 实现的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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