简单稳健估计法——原理与 Python 实现
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本文主要参考 ISO 13528 C.2 条款。
设样本为 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,⋯,xn。
均值估计
中位数
将样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,⋯,xn 按升序进行排序,可得: x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_\\1\\, x_\\2\\, \\cdots, x_\\n\\ x1,x2,⋯,xn。
则中位数为:
med
(
x
i
)
=
x
n
/
2
+
x
n
/
2
+
1
2
n
是偶数
x
n
+
1
2
n
是奇数
\\textmed(x_i) =\\left\\\\beginarrayc \\fracx_\\n/2\\ + x_\\n/2+1\\2 & n \\text是偶数 \\\\ x_\\\\fracn+12\\ & n \\text是奇数 \\endarray\\right.
med(xi)=2xn/2+xn/2+1x2n+1n是偶数n是奇数
样本均值
x ˉ = ∑ i = 1 n x i n \\barx = \\frac\\sum_i=1^n x_i n xˉ=n∑i=1nxi
稳健标准差
MADe
M A D e = 1.483 × med ( ∣ x i − med ( x i ) ∣ ) MADe = 1.483 \\times \\textmed ( |x_i - \\textmed(x_i)| ) MADe=1.483×med(∣xi−med(xi)∣)
nIQR
首先找出 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \\cdots, x_n x1,x2,⋯,xn 的上四分位数,和下四分位数,记为 Q3、Q1。前者是使得数据有 1/4 大于(或有可能等于) Q3,其余小于(或有可能等于)Q3 的数据有 3/4 。
Q3 和 Q1 的计算方式为:如果能够直接找到四分位数,则直接取;若找不到,则使用下述公式进行插值:
Q
=
x
j
+
x
i
−
x
j
fraction
Q = x_j + \\fracx_i - x_j \\textfraction
Q=xj+fractionxi−xj
其中,
fraction
\\textfraction
fraction 为大于 Q 的数据数。比如 Q3 时为
fraction
=
1
/
4
\\textfraction = 1/4
fraction=1/4, Q1 为
fraction
=
3
/
4
\\textfraction = 3/4
fraction=3/4。
x
i
,
x
j
x_i, x_j
xi,xj 为接近 Q 位置前后两个数
x
i
,
x
j
x_i, x_j
xi,xj,其中
x
i
>
x
j
x_i > x_j
xi>xj。
例如 [ 1 , 2 , 3 , 4 ] [1,2,3,4] [1,2,3,4] 的 Q1 为 1.75,Q3 为 3.25。当然,也可以考虑其他插值方法,如去 x i , x j x_i, x_j xi,xj 的中位数,或取最接近 四分位数 的 x x x。
于是 nIQR 为:
nIQR
=
0.7413
×
(
Q
3
−
Q
1
)
\\textnIQR = 0.7413 \\times (Q3-Q1)
nIQR=0.7413×(Q3−Q1)
以上是关于简单稳健估计法——原理与 Python 实现的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
Trimmed 稳健均值估计与 中位数-中位数配对偏差法估计标准差——理论与 Python 实现