Northwestern European Regional Contest 2017-I题- Installing Apps题解

Posted 2021-01-06 565261641-fzh

一、题意

有一个手机，容量为$C$，网上有$N$个app，每个app有个安装包大小$d_i$，有个安装后的占用空间大小$s_i$，安装app是瞬间完成的，即app的占用空间可以瞬间由$d_i$变成$s_i$，而不需要其他多余的空间。问这个手机最多可以安装多少个app，输出最多可以安装的app数量和安装顺序。

二、思路

很显然的$dp$。按照$max(d,s)-s$从大到小排序。$dp[i][j]$表示在前$i$个app中，占用空间不超过$j$的条件下最多可以安装的app的数量。那么，有如下递推式：

枚举$1 le i le N,0 le j le C$，如果$j<s_i$，$dp[i][j]=dp[i-1][j]$；

如果$j ge s_i且C-(j-s_i) ge d_i$，$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-s_i]+1)$；

初始状态，全部的$dp$都是$0$。

然后，在状态转移的时候，需要记录选择的路径。

三、注意点

1、“如果$j ge s_i且C-(j-s_i) ge d_i$”，意思是，如果$j ge s_i$且选择当前这个app之前剩余空间大于当前这个app的安装包大小，那么就可以安装这个app。

2、最后的答案不一定是$dp[N][C]$，而是$max{dp[N][j]|0 le j le C}$。

3、这题其实就是01背包模型，记录路径的方案和01背包一样。

4、切记：记录路径时，用额外数组的方式最靠谱。

四、代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct app {
    int d, s, id;
} p[510];
bool cmp(app a1, app a2) {
    return max(a1.d, a1.s) - a1.s > max(a2.d, a2.s) - a2.s;
}
int N, C, dp[510][10010], ans[510], acnt;
bool path[510][10010];
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &C);
    for(int i = 1; i <= N; ++i)scanf("%d%d", &p[i].d, &p[i].s), p[i].id = i;
    for(int i = 0; i <= N; ++i) {
        for(int j = 0; j <= C; ++j)dp[i][j] = 0;
    }
    sort(p + 1, p + N + 1, cmp);
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {
        for(int j = 0; j <= C; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= p[i].s) {
                int last = j - p[i].s;
                if(C - last >= p[i].d) {
                    if(dp[i][j] < dp[i - 1][last] + 1) {
                        dp[i][j] = dp[i - 1][last] + 1;
                        path[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    int V, aa = 0;
    for(int j = C; j >= 0; --j) {
        if(aa < dp[N][j]) {
            aa = dp[N][j], V = j;
        }
    }
    for(int i = N, j = V; i > 0; --i) {
        if(path[i][j]) {
            ans[++acnt] = p[i].id;
            j -= p[i].s;
        }
    }
    reverse(ans + 1, ans + acnt + 1);
    printf("%d
", acnt);
    for(int i = 1; i <= acnt; ++i)printf("%d ", ans[i]);
    return 0;
}
/*
3 4
2 1
3 2
3 3
*/