一些结论总结

Posted 2023-02-27 Flame♡

一个长度为$n$的数列，里面可以任意填充$[1,n]$,长度为$k$的最长上升子序列的期望个数是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)/k！$的 据说在根号的时候复杂度最大…

由上面得知的结论是最长上升子序列的期望是$\sqrt{n}$

也就是一个随机数列大概会由$\sqrt{n}$个长度为$\sqrt{n}$的最长上升子序列构成）

$n$ 个点的有根二叉树的数量是 $f_n=\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i{f}_{n-i-1}$

对应就是卡特兰数

$f_n$ 的叶子数 $g_n=n\ast f_n-1$

下图是求 $n!$ 里2的因子数目

证明

所以组合数是奇数当且仅当满足 n-a=m-b+(n-m)-c

即 a=b+c

即$n$&$m==m$

或者$m$&$(n-m)==0$

(因为两个and=0说明没有位置重叠相加不存在进位 又因为两个相加要和n相等 所以只能是对应位置相等)

这个东西可以用来求网格图上路径数的奇偶性

学习资料：

burnside引理和polya定理